Теоретическая механика (стр. 15 )

Так как жесткость пружины имеет размерность [Н/м], то: с1 = 48 Н/см = 4800 Н/м; с2 = 24 Н/см = 2400 Н/м. Заменим последовательно соединённые пружины с жёсткостями с1, с2 одной эквивалентной пружиной с жёсткостью «с».

с = (с1·с2)/(с1+ с2) = (4800·2400)/(4800 + 2400) = 1600 Н/м.

ПРИМЕЧАНИЕ.

При параллельном соединении пружин жёсткость эквивалентной пружины определяют по формуле с = с1 + с2.

Для определения величины fst рассмотрим равновесие материальной точки. Геометрическое условие равновесия точки имеет вид ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fynst = 0. Спроецируем это векторное равенство на ось ОХ.

Σ + Σ = 0 = G·sin(α) – Fynst = m·g·sin(α) – c·fst = 0.

Отсюда имеем

fst = m·g·sin(α)/с = (4·9,81·0,5)/1600 = 0,012 м.

В момент соприкосновения груза с пружиной начальная координата X0 = – fst = – 0,012 м.

Для определения начальной скорости V0 рассмотрим движение груза, приняв его за материальную точку, в системе отсчёта О1Х1 (рис. 2.20).

 

Согласно задаче начальные условия движения груза имеют вид: Х10 = 0; = 0.

Запишем дифференциальные уравнения движения груза и дважды проинтегрируем его:

m·= G·sin(α) = m·g·sin(α);

 = g·sin(α)·t + С1;

Х1 = g·sin(α)·(t2/2) + С1·t + С2.

Определим постоянные интегрирования. Поскольку Х10 = 0 и = 0, то имеем С1 = 0 и С2 = 0. Тогда:  = g·sin(α)·t; Х1 = g·sinα·(t2/2).

За время ts груз проходит расстояние S и соприкасается с пружиной. Исходя из этого, получим

V0 = g·sin(α)·ts ; S = g·sin(α)·((ts)2/2).

Решая эти уравнения, получим:

ts = =  = 0,201 c;

V0 = 9,81·0,5·0,201 = 0,990 м/с.

Таким образом, начальные условия движения точки при её контакте с пружиной определены: X0 = – 0,012 м; = 0,990 м/с.

Рассмотрим движение материальной точки в системе отсчёта ОХ в произвольный момент времени (см. рис. 2.19). На точку действуют следующие силы: G, N, Fyn. Необходимо отметить, что модуль силы Fyn = с·Δ является переменной величиной, так как деформация Δ пружины зависит от координаты точки Х = f(t), которая является функцией от времени.

Fyn = c·Δ = c·(fst + X).

Основное уравнение динамики для точки имеет вид

m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fyn.

Запишем дифференциальное уравнение движения точки:

m·= G·sin(α) – Fyn =

= m·g·sin(α) – c·(fst + X) = m·g·sin(α) – c·fst – c·X.

Из условия равновесия точки было получено равенство

m·g·sin(α) – c·fst = 0.

Используя это равенство, получим

m· + c·X = 0 или + (c/m)·X = 0.

Последнее выражение приведём к стандартному виду:

 + k2 ·X = 0,

где  – циклическая частота свободных колебаний.

 =  = 20 с-1.

Таким образом, материальная точка совершает свободные колебания около положения своего статического равновесия. Уравнение этого движения имеет вид

Х = A·sin(k·t + β),

где А – амплитуда свободных колебаний; β – начальная фаза.

=  = 0,050 м;

sin(β) = Х0/A = – 0,012/0,050 = – 0,239;

cos(β) = /(A·k) = 0,990/(0,050·20) = 0,972.

Поскольку sin(β) < 0, a cos(β) > 0, то величину угла β можно определить по формуле

β = π – α,

где α = аrcsin(0,239) = 0,237 рад или α = аrccos(0,972) = 0,237 рад.

При этом значении величины угла α начальная фаза β имеет значение

β = 3,14 – 0,237 = 2,903 рад.

Уравнение колебательного движения груза имеет вид

Х = 0,05·sin(20·t + 2,903).

График движения этого груза приведён на рис. 2.21.

Таким образом, задача решена. Установлено, что груз совершает гармонические колебания около положения своего статического равновесия.

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

 

1.    Записать формулу для определения модуля силы упругости пружины.

2.   Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний точки.

3.   Записать уравнения свободных колебаний точки.

4.   Сформулировать определение понятия «амплитуда свободных колебаний точки».

5.   Сформулировать определение понятия «период свободных колебаний точки».

6.   Сформулировать определение понятия «циклическая частота свободных колебаний точки».

7.   Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний точки.

8.   Записать уравнения затухающих колебаний точки.

9.   Сформулировать определение понятия «период затухающих колебаний точки».

10.    Сформулировать определение понятия «амплитуда затухающих колебаний точки».

11.    Какие колебания называют колебаниями с малым сопротивлением внешней среды?

12.    Записать уравнения апериодического движения точки.

13.    Под действием каких сил происходят вынужденные колебания материальной точки?

14.          Записать формулу для определения периода возмущающей силы.

15.    Записать дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил.

16.    Записать уравнение вынужденных колебаний малой частоты.

17.    Записать уравнение вынужденных колебаний большой частоты.

18.    Записать условие, при котором происходит явление резонанса.

19.    Записать дифференциальное уравнение движения точки, происходящее под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону, и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости.

 

 

3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

 

3.1. Дифференциальные уравнения относительного

движения материальной точки.

Переносная и кориолисова силы инерции

 

Два первых закона классической механики и полученные на их основе уравнения справедливы при движении точки в инерциальной системе отсчёта (ИСО). Существует ряд технических задач, в которых рассматривают движение материальной точки в подвижной системе отсчёта (ПСО), которая в общем случае не является инерциальной.

 

Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, по отношению к которой изолированная материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

 

Система отсчёта, не обладающая этим свойством, называется неинерциальной системой отсчёта

Рассмотрим движение материальной точки под действием активных сил FiЕ и реакций RiЕ относительно подвижной неинерциальной системы отсчёта OXYZ (рис. 3.1).

Напомним некоторые понятия кинематики, используемые в данном разделе динамики точки.

Движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта O1X1Y1Z1 называется абсолютным и характеризуется абсолютной скоростью V и абсолютным ускорением a. Положение точки на траектории абсолютного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями абсолютного движения:

X1 = f1(t); Y1 = f2(t); Z1 = f3(t).

Неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1 является инерциальной. В этой системе отсчёта основное уравнение динамики имеет вид