Теоретическая механика (стр. 35 )

где m – масса тела; , , – проекции ускорения центра С масс тела на координатные оси системы отсчёта O1X1Y1Z1; Σ, Σ, Σ– суммы проекций активных сил  на координатные оси O1X1, O1Y1, O1Z1.

Сферическая часть движения твёрдого тела относительно центра масс описывается тремя дифференциальными уравнениями:

JCX·(·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) +

+ (·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))·(·cos(θ) + )·(JCZ – JCY) =

= Σ MCX(); (4)

JCY·(·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ)) +

+ (·cos(θ) + )·(·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ)) (JCX – JCZ) =

= Σ MCY(); (5)

JCZ·(·cos(θ) + ) +

+ (·sin(θ)·sin(φ) + ·cos(φ))·(·sin(θ)·cos(φ) – ·sin(φ))×

×(JCY – JCX) = Σ MCZ(), (6)

где JCX, JCY, JCZ – моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции;  – угловая скорость прецессии;  – угловая скорость нутации;  – угловая скорость собственного вращения; Σ MCX(),Σ MCY(),Σ MCZ() – суммы моментов активных сил относительно главных центральных осей.

Интегрирование дифференциальных уравнений (1) – (6) представляет большие трудности, поэтому для студентов заочной и дистанционной форм обучения выполнение курсовых заданий на свободное движение тела не предусмотрено.

 

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

 

1.         Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

2.         Записать дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно вертикальной оси.

3.         Записать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела в системе отсчёта OXY.

 

5.5. Теорема об изменении кинетической энергии

 

5.5.1. Работа силы на перемещении точки её приложения

 

Рассмотрим прямолинейное перемещение точки на горизонтальной плоскости OXY из положения М1 в положение М2, происходящее под действием постоянной силы F (рис. 5.21).

Работой A(F) постоянной силы на прямолинейном перемещении точки её приложения называется скалярное произведение вектора силы F на вектор U перемещения её точки приложения.

A(F) = F·U = F·U·cos(F, U) = F·U·cos(α),

где F – модуль силы F; U – модуль вектора U перемещения точки приложения силы F; α – угол, составленный направлениями векторов F и U.

Единица измерения работы [Н·м] = [Дж].

Согласно последнему равенству работа постоянной силы F на перемещении U точки её приложения равна произведению трёх сомножителей: модуля силы на модуль вектора перемещения точки приложения силы и на косинус угла, составленного направлениями векторов F и U.

В зависимости от величины угла α работа A(F) силы F на перемещении U точки её приложения может быть положительной, отрицательной или равной нулю (рис. 5.22).

Анализ рис. 5.20 позволяет сделать следующие выводы:

1) если векторы F и U направлены в одну полуплоскость, то A(F) > 0;

2) если векторы F и U направлены в разные полуплоскости, то A(F) < 0;

3) если векторы F и U взаимно перпендикулярны, то A(F) = 0.

Как правило, в задачах инженерной практики силы являются переменными, а точки их приложения описывают криволинейные траектории (рис. 5.23).

 

В этом случае используют понятие «элементарная работа силы».

 

Элементарная работа силы – скалярная мера действия силы, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки её приложения.

Рассмотренное понятие базируется на другом понятии – «элементарное перемещение точки».

 

Элементарное перемещение точки – перемещение точки из данного положения в положение, бесконечно близкое к нему.

 

Это перемещение изображается вектором, начало и конец которого совпадают соответственно с положениями точки в начале и конце перемещения. Элементарное перемещение dU направляется по касательной к траектории движения в данной точке. Так как вектор dU и вектор V скорости точки имеют одинаковое направление, то равенство для определения элементарной работы δA(F) имеет вид

δA(F) = F·dU = F·dU·cos(F, dU).

Работа переменной силы F на конечном перемещении U точки её приложения по произвольной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой от точки М1 до точки М2 от элементарной работы δA.

А(F) = ∫F·dU = ∫F·dU·cos(F, dU).

 

Работа силы на конечном перемещении точки её приложения – величина, равная криволинейному интегралу от элементарной работы силы, действующей на данную материальную точку, взятому вдоль дуги кривой, описанной точкой при этом перемещении.

 

Если сила последовательно действует на разные точки механической системы (тела), то её работа при конечном перемещении системы определяется как предел суммы соответствующих элементарных работ.

Выражение работы переменной силы на конечном перемещении точки её приложения по криволинейной траектории через проекции FOX, FOY, FOZ силы F и проекции dX, dY, dZ вектора dU элементарного перемещения на оси декартовой системы отсчёта имеет вид

A(F) = ∫(FOX·dX + FOY·dY + FOZ·dZ).

Рассмотрим движение i-й точки неизменяемой механической системы в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.24).