Теоретическая механика (стр. 4 )

Реакции связей – силы, действующие на точки механической системы со стороны материальных тел, осуществляющих связи, наложенные на эту систему.

 

Толкования новых понятий и определений будут выделены курсивом в тексте данного учебно-методического пособия перед началом их использования.

 

1.3. Основные законы механики

 

В основе динамики лежат законы, впервые сформулированные Ньютоном. Законы классической механики многократно подтверждены опытами и наблюдениями и являются объективными законами природы.

 

1. Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других сил не изменит это состояние.

 

Закон инерции характеризует стремление тела сохранить неизменной скорость своего движения или, иначе говоря, сохранить приобретённое им ранее механическое движение. Это свойство называют его инертностью. Для поступательно движущегося твёрдого тела мерой его инертности является масса m, измеряемая в кг. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, т. е. она рассматривается как постоянная величина. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения, измеряемый в кг·м2.

 

2. Закон пропорциональности силы и ускорения. Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

 

Закон пропорциональности силы Р и ускорения а устанавливает в векторной форме зависимость, характеризующую изменение скорости V движения материальной точки под действием силы. Этот закон выражается формулой

m·a = P.

Из курса статики известно, что, если на точку действуют несколько сил, то их можно заменить равнодействующей Р, равной сумме сил (рис. 1.1).

 

На рис. 1.1 использованы обозначения: FiЕ – i -я активная сила; RiЕ – i -я реакция внешней связи. Активные силы FiЕ и реакции RiЕ внешних связей относятся к разряду внешних сил. Принадлежность силы к разряду внешних сил отмечается верхним индексом Е.

С учетом изложенного выше второй закон динамики описан формулой

m·a = P = ΣFiЕ + ΣRiЕ.

В общем случае для несвободной материальной точки второй закон динамики может быть изложен в следующей редакции.

 

Вектор m·a, определяемый произведением массы m точки на её ускорение a, равен геометрической сумме активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей, приложенных к точке.

 

 

Если рассматривается движение свободной материальной точки, то последнее выражение приобретает следующий вид:

m·a = P = ΣFiЕ.

 

Вектор m·a, определяемый произведением массы m точки на её ускорение a, равен геометрической сумме активных сил FiЕ.

 

Второй закон динамики часто называют основным уравнением динамики.

Из второго закона динамики следует, что, если геометрическая сумма активных сил и реакций внешних связей, действующих на точку, равна нулю (ΣFiЕ + ΣRiЕ = 0), то ускорение точки равно нулю (а = 0), т. е. точка (или тело) движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

Систему отсчёта, в которой проявляются первый и второй законы динамики, называют инерциальной системой отсчёта.

 

Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, по отношению к которой изолированная материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

 

Система отсчёта, не обладающая этим свойством, называется неинерциальной системой отсчёта.

Для большинства задач за инерциальную систему отсчёта принимают систему координатных осей, связанных с Землей.

 

3. Закон равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

 

Третий закон отражает двусторонность механических процессов природы. Он устанавливает, что при взаимодействии двух тел силы, приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Будучи приложенными к разным телам, эти силы не уравновешиваются. При рассмотрении движения материальной точки этот закон механики справедлив не только в инерциальной, но и в неинерциальной системах отсчёта.

 

 

4. Закон независимости действия сил. Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, которое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

 

Этот закон утверждает, что ускорение а, получаемое материальной точкой от одновременно действующей на неё системы сил, равно геометрической сумме ускорений аi, сообщаемых этой точке каждой из сил в отдельности.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что законы классической механики многократно подтверждены опытами и наблюдениями. На этих законах базируются многие технические дисциплины: теория механизмов и машин; сопротивление материалов; детали машин и т. д., изучаемые в высших учебных заведениях.

 

1.4. Дифференциальные уравнения движения

несвободной материальной точки

в декартовой системе отсчёта

 

Рассмотрим движение несвободной материальной точки под действием активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 1.2).

 

Для обозначения инерциальной системы отсчёта использована аббревиатура ИСО.

Три уравнения: X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) являются уравнениями движения точки в ИСО. Для рассматриваемой точки основное уравнение динамики имеет вид

m·a = P = ΣFiE + ΣRiE.

Спроецируем обе части последнего векторного равенства на координатные оси ИСО:

m· = Σ + Σ;

m· = Σ + Σ;

m· = Σ + Σ,

где , ,  – проекции ускорения a на координатные оси; Σ, Σ, Σ – суммы проекций активных сил FiE на соответствующие координатные оси ИСО; Σ, Σ, Σ – суммы проекций реакций RiE внешних связей на оси ИСО.

 

Произведение массы m точки и проекции её ускорения a на координатную ось инерциальной системы отсчёта OXYZ равно сумме проекций активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей на ту же ось.

 

Последние уравнения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в декартовой инерциальной системе отсчёта.

 

 

1.5. Дифференциальные уравнения движения

несвободной материальной точки

в естественных координатных осях

 

Естественные координатные оси – прямоугольная система осей с началом в движущейся точке, направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории этой точки.

 

Из известного студентам курса кинематики уравнение движения точки в естественных координатных осях имеет вид S = f(t), где S – дуговая координата.

Рассмотрим движение несвободной материальной точки под действием активных сил FiE и реакций RiE внешних связей в естественных координатных осях (касательная, главная нормаль, бинормаль). Для понимания излагаемого материала напомним некоторые положения, относящиеся к этому движению.