Теоретическая механика (стр. 30 )

Определить значение угловой скорости  тела Н в момент времени t1 = T ((T) = ?).

Тело Н рассматривать как однородную пластинку.

Дано: m1 = 20 кг; m2 = 5 кг;  = 5 рад/с = const; b = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; MOZ = – 6,3· Н·м; τ = 4 с; OK = S(t1) = (5·π·R/6)·t1 м; Т = 1с.

 

Решение.

К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1() + ΣMO1Z1(),

где LO1Z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣMO1Z1(), ΣMO1Z1() – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Решение задачи разобьём на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.

Первый этап.

В исходном положении тело Н (тело 1 массой m1), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено самоходный механизм массой m2), вращается с постоянной угловой скоростью  (см. рис. 5.12).

Введём неподвижную (инерциальную) систему отсчёта O1X1Y1Z1, совместив ось O1Z1 с осью вращения Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с произвольной угловой скоростью .

Внимание!

Независимо от знака начальной угловой скорости  направление вращения тела 1 на рис. 5.13 рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволит решать задачу в общем виде для любого направления вращения Частные решения будут получены при подстановке в общее решение исходных данных задачи.

 

Определим положение центра С2 масс материальная точка К) на Поскольку АО = 0, то точки А, О и С2 совпадают. Центр масс тела 2 описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Центр этой окружности находится на оси вращения. Покажем на рис. 5.13 траекторию движения этого центра масс, а также векторы абсолютной скорости VС2 и количества движения m2·VС2. Эти векторы приложены в точке С2 и направлены противоположно направлению координатной оси O1X1.

 

 

Определим кинетический момент LO1Z1 механической системы относительно оси вращения O1Z1 по формуле

LO1Z1 = LO1Z1(1) + LO1Z1(2),

где LO1Z1(1), LO1Z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения O1Z1.

Кинетический момент LO1Z1(1) тела 1, совершающего вращательное движение относительно оси O1Z1, вычисляют по формуле

LO1Z1(1) = JO1Z1(1)·,

где JO1Z1(1) – момент инерции тела 1 относительно оси вращения.

Поскольку по условию задания тело 1 – однородная прямоугольная пластина, то имеем JO1Z1(1) = m1·b2/3 (см. табл. 4.1). Тогда

LO1Z1(1) = (m1·b2/3)· = (20·0,62/3)· = 2,4·.

Кинетический момент LO1Z1(2) тела 2 относительно оси вращения O1Z1 равен моменту количества движения m2·VC2 этого тела относительно той же оси.

LO1Z1(2) = (m2·VC2)·b = (m2·(·b))·b = m2·b2· = 5·0,62· = 1,8·.

Поскольку кинетические моменты тел механической системы определены, то кинетический момент LO1Z1 системы равен

LO1Z1 = LO1Z1(1) + LO1Z1(2) = 2,4· + 1,8· = 4,2·.

Таким образом, формула для определения кинетического момента LO1Z1 механической системы в её исходном положении получена.

Второй этап.

Рассмотрим движение механической системы под действием активных нагрузок и реакций внешних связей (рис. 5.14).

Согласно рис. 5.14 на механическую систему действуют внешние нагрузки: активные силы G1, G2 (силы тяжести тел системы); активный момент MOZ(t), зависящий от времени; реакции XO1, YO1, ZO1 в точке О1 подпятника и реакции XD, YD цилиндрического шарнира в точке D.

Внимание!

Независимо от знака момента MOZ(t), заданного в исходных данных задачи, на рис. 5.14 направление этого момента рекомендуется показывать против хода часовой стрелки. Это позволяет решать задачу в общем виде и получать частные решения при любых исходных данных.

Так как активный момент MOZ(t) зависит от времени, то очевидно, что при его действии на механическую систему будет изменяться её угловая скорость .

В принятых условных обозначениях теорема об изменении кинетического момента механической системы записывается в виде

dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1() + ΣMO1Z1().

Определим производную по времени от кинетического момента механической системы относительно оси вращения.

dLO1Z1/dt = d(4,2·)/dt = 4,2·d/dt.

Сумма моментов активных нагрузок, приложенных к механической системе, относительно оси вращения равна

ΣMO1Z1() = MOZ(t) = – 6,3·.

Сумма моментов реакций внешних связей относительно оси вращения равна нулю (ΣMO1Z1() = 0).

В этих условиях теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения приобретает вид дифференциального уравнения:

4,2·d/dt = – 6,3· = – 6,3·t0,5.

Проинтегрируем это уравнение и решим его:

 = – 1,5;

(t) –  = – 1,5(τ0,5+1/1,5) = – τ0,5+1 = – ;

(t) =  –  = 5 –  = 5 – 8 = – 3 рад/с.

Таким образом, при приложении активного момента MOZ = – 6,3· к механической системе её угловая скорость за промежуток времени τ = 4 с изменится с начального значения  = 5 рад/с до значения  (t) = – 3 рад/с.

Ответ на один из вопросов ((t) = ?) курсового задания получен.

 

Третий этап.

Рассмотрим движение механической системы в момент времени Т, когда на неё действуют только активные силы G1, G2 (силы тяжести тел системы); реакции XO1, YO1, ZO1 в точке О1 подпятника и реакции XD, YD цилиндрического шарнира в точке D (рис. 5.15).