Теоретическая механика (стр. 61 )

 

На рис. 8/1 приняты условные обозначения: С1, С 2 – центры масс тел 1, 2; VC1; VC2 – скорости центров масс тел.

Удар есть процесс, при котором в течение очень малого промежутка времени действуют очень большие силы. Время этого процесса часто равно тысячным и даже десятитысячным долям секунды. Величина силы, приложенной к телу во время удара, может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить вес тела.

 

Удар – механическое взаимодействие материальных тел, приводящее к конечному изменению скоростей их точек за бесконечно малый промежуток времени.

 

Примечание. Этот промежуток времени называют временем удара.

 

В теории удара классической механики вводится следующая идеализация этого процесса – совершается предельный переход к бесконечно большим силам, действующим бесконечно малое время (ударные силы) и имеющим конечный импульс S.

Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

 

Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.

 

В технической литературе зачастую ударные силы называют мгновенными силами.

 

Согласно известным утверждениям кинематики поступательное движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и активной силы FiE на участке АВ (рис. 8.2).

 

В момент времени, когда материальная точка занимает на траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости от V1 до V2. В момент удара на материальную точку кроме сил G и FiE действует ударная сила Р. В отличие от ударной силы Р, силы FiE и G называют немгновенными силами.

В положении В, где действовала ударная сила Р, происходит резкое изменение траектории движения АВD точки. После прекращения действия ударной силы Р материальная точка на участке ВD снова движется под действием силы тяжести G и активной силы FiE.

Таким образом, в теории удара классической механики сделаны следующие допущения.

1.    Действие немгновенных сил за время удара не учитывают.

2.    Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.

3.    Результат действия ударной силы на материальную точку выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством V2 = V1 + (S/m).

 

В действительности скачок скорости происходит в течение очень малого промежутка времени. Рассмотрим взаимодействие двух тел, совершающих поступательное движение в момент удара (рис. 8.3), и введём понятия, широко используемые в инженерной практике.

 

Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.

 

Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс.

 

Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс соударяющихся тел лежат на линии центров.

 

Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.

 

Рассмотрение процесса удара требует выхода из рамок классической механики – отказа от схемы абсолютно твёрдого тела и перехода к схеме деформируемого тела. В зависимости от степени восстановления недеформированного состояния удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упругие.

 

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.

 

В конце неупругого удара центры тяжести соударяющихся движутся с одинаковыми скоростями.

 

Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел восстанавливается не полностью.

 

В конце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

 

Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью.

 

В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

 

Рассмотрим прямой центральный упругий удар двух тел. На рис. 8.4 изображена расчётная схема этого удара. До удара (см. рис. 8.4,а) соударяющиеся тела 1 и 2 движутся в одном направлении с абсолютными скоростями VC1, VC2 центров С1, С2 масс этих тел. На рис. 8.4,б изображен момент удара тел 1 и 2. Расчётная схема движения тел после удара приведена на рис. 8.4,в.

Напомним, что абсолютной скоростью называют скорость в инерциальной системе отсчёта.

Процесс упругого удара разделим на два этапа. В течение первого этапа (см. рис. 8.4,б) совершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные скорости UС1, UС2.

Отношение изменений скоростей тел после удара к скоростям тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления при ударе.

 

Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная модулю отношения разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль после удара к разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль до удара.

 

Величину коэффициента k определяют по формуле

k = ,

где UC2On, UC1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 2 и 1 на главную нормаль после удара; VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1 и 2 до удара.

Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно неупругом ударе k = 0, при упругом ударе k < 1, при упругом ударе k = 1.

 

Рассмотрим косой центральный удар двух тел (рис. 8.5).

 

При рассмотрении косого центрального упругого удара поступательно движущихся твёрдых тел поверхности соударяющихся тел будем считать абсолютно гладкими.

До удара (см. рис. 8.5а) абсолютные скорости VC1, VC2 центров С1, С2 центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами α1, α2. После удара (см. рис. 8.5,б) абсолютные скорости UC1, UC2 центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами β1, β2.

Величину коэффициента k при косом ударе определяют по формуле

k =  = .

 

8.2. Удар шара о неподвижную плоскость

 

Рассмотрим удар поступательно движущегося шара о неподвижную плоскость (рис. 8.6).

Шар массой m движется поступательно и скорость VC направлена по нормали к неподвижной массивной поверхности в точке А. В момент времени, когда шар достигает этой поверхности, происходит прямой центральный удар. Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Во время этой фазы кинетическая энергия шара обращается в потенциальную энергию сил упругости деформируемых тел и частично расходуется на их нагревание. В течение второй фазы под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар отделяется от неподвижной поверхности с абсолютной скоростью UС, модуль которой меньше модуля его скорости VC до удара.

Согласно рис. 8.6, шар падает на неподвижную горизонтальную плоскость с высоты h1, при этом начальная скорость его центра масс равна нулю (VC0 = 0). В начале процесса удара скорость его центра масс равна VC. В конце удара шар со скоростью центра масс UС отрывается от неподвижной поверхности и поднимается на высоту h2max, где скорость его центра масс равна нулю.

По известным величинам h1, h2max определяют коэффициент восстановления при ударе по формуле

k = .

Эта формула используется при экспериментальном определении коэффициента восстановления.

В случае абсолютно неупругого удара шар от плоскости не отделяется, т е. h2 = 0. Тогда k = 0.

При абсолютно упругом ударе шар отскакивает от неподвижной плоскости и возвращается в исходное положение, т. е. h2max = h1. В этом случае k = 1.

При упругом ударе h2max < h1 и, следовательно, 0 < k < 1.

В случае прямого центрального удара тела о неподвижную поверхность модули скоростей связаны соотношением