Теоретическая механика (стр. 49 )

δSA = δSВ·cos(30о).

Отсюда имеем

δSВ = δSА/cos(30о) = AO·δφ1/cos(30о).

Таким образом, установлено, что линейные возможные перемещения точек А и В зависят от возможного углового перемещения δφ1 звена 1 механизма.

δSA = AO·δφ1 = f1(δφ1);

δSB = AO·δφ1/cos(30о) = f2(δφ1).

 

6.2. Связи и их классификация. Идеальные связи

 

В аналитической механике широко используются понятия: «механическая система»; «связи», наложенные на механическую систему. Уточним эти понятия и проведём их классификацию.

 

Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.

 

Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.

 

Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).

 

Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы.

 

Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением f(X, Y, Z) = 0.

 

Дифференциальные связи – связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат ещё первые производные от этих координат по времени.

 

Уравнение такой связи имеет вид

f(X, Y, Z, dX/dt, dY/dt, dZ/dt) = 0.

 

Голономные связи – геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых можно проинтегрировать.

 

Неголономные связи – дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

 

Стационарные связи – связи, в уравнения которых время явно не входит.

 

Например, геометрическая стационарная связь в виде невесомого стержня длины l, ограничивающая перемещение материальной точки (рис. 6.11), описывается уравнением

X2 + Y2 + Z2 – l2 = 0.

Если в рассматриваемом примере (рис. 6.11) вместо стержня будет нить, длина которой с течением времени изменяется, то такая связь будет геометрически нестационарной. Эта связь описывается уравнением

X2 + Y2 + Z2 – l2(t) = 0.

 

Двусторнние (удерживающие) связи – связи, допускающие возможные перемещения только в двух взаимно противоположных направлениях.

 

Примером такого типа связи служит, например, кулисный камень. Эти связи описываются уравнением f(X, Y, Z, t) = 0.

 

Односторонние (неудерживающие) связи – связи, при которых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются возможными.

 

К связям такого типа относится, например, шарнирно-подвижная опора. Аналитически эти связи описываются неравенствами типа f(X, Y, Z, t) ≥ 0.

 

Механическая система – любая совокупность материальных точек, движения которых взаимозависимы.

 

Голономная система – механическая система, на которую наложены голономные связи.

 

Неголономная система – механическая система, на которую наложена хотя бы одна неголономная связь.

 

Возможное перемещение системы – любая совокупность возможных перемещений точек данной механической системы, допускаемая всеми наложенными на неё связями.

 

Рассмотрим понятие «возможная работа силы», которое также широко применяют в аналитической механике.

 

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая величина, равная скалярному произведению вектора силы F на вектор возможного перемещения δS точки её приложения.

 

На рис. 6.12 показаны векторы F и δS.

Согласно рис. 6.12 и определению возможную работу δA(F) силы F определяют по формуле

δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cos(α).

В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Рассмотрим случай, при котором под действием силы F тело совершает вращательное движение относительно оси ОХ (рис. 6.13).

При вращении тела возможную работу δA(F) силы F на возможном угловом перемещении δφ в общем случае определяют по формуле

δA(F) = ± МОХ(F)·δφ = ± (F·h)·δφ,

где МОХ(F) – момент силы F относительно оси ОХ вращения; h – плечо силы F относительно оси вращения.

 

Следует отметить, что при совпадении направления МОХ(F) и δφ возможная работа δA(F) > 0. Если направления МОХ(F) и δφ противоположны, то δA(F) < 0.

Возможная элементарная работа δAS сил, приложенных к точкам механической системы, вычисляется по формуле

δAS = ΣδA(Fi).

Рассмотрим еще одно понятие «идеальные связи», применяемое в аналитической механике.

 

Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы.

 

Идеальными связями являются: гладкая поверхность; шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры; шероховатая поверхность при качении по ней рассматриваемого тела и др.

 

6.3. Принцип возможных перемещений

 

При решении задач на равновесие механических систем, например, для составной конструкции применяются соответствующие уравнения равновесия. Как правило, такие задачи являются статически неопределимыми. Для их решения требуется рассматривать равновесие каждого из тел системы под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций внутренних связей. В результате того, что для каждого из тел системы составляются уравнения равновесия, приходится решать большие системы уравнений. Такой подход к решению задачи становится громоздким и потому малопригодным. В этих случаях целесообразно использовать принцип возможных перемещений, который существенно облегчает решение поставленной задачи.

 

Формулировка принципа возможных перемещений.

 

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных (задаваемых) сил на любых возможных перемещениях механической системы равнялась нулю.

 

Этот принцип выражается формулой

δA = ΣδA(Fi) = ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0,

где Fi – активная сила, приложенная к i-й точке механической системы; δSi – возможное перемещение точки приложения силы Fi.

Принцип возможных перемещений в декартовой системе отсчёта имеет вид

Σ(FiOX·δSiOX + FiOY·δSiOY + FiOZ·δSiOZ) = 0,

где FiOX, FiOY, FiOZ – проекции задаваемых (активных) сил на координатные оси; δSiOX, δSiOY, δSiOZ – проекции возможных перемещений δSi точки приложения сил Fi на координатные оси.

Если предыдущую формулу (ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0) продифференцировать по времени, то получим

ΣFi·Vi = ΣFi·Vi·cos(Fi, Vi) = 0,

где Vi = d(δSi)/dt – возможная скорость точки приложения силы Fi.

Так как по определению F·V = F·V·cos(F, V) = N, где N – мощность, то последнее равенство трактуют как принцип возможных скоростей или принцип возможных мощностей.

 

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей активных сил на любых возможных скоростях точек этой системы равнялась нулю.

 

Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовые задания Д 6, Д7.

 

6.3.1. Варианты курсового задания Д 6

«Применение принципа возможных перемещений

к решению задач о равновесии сил, приложенных

к механической системе с одной степенью свободы»

 

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, и необходимые для расчёта данные приведены в табл. 5.4. В расчётах использовать следующие условные обозначения: с – коэффициент жёсткости пружины (Н/см); h – деформация пружины (см); Q, P – силы (Н); М – момент пары сил (Н·м).

Примечания:

Вариант 6. Вес рукоятки О1А не учитывать.

Вариант 7. Пружина сжата.

Вариант 8. Пружина сжата.

Вариант 10. Вес рукоятки ОА не учитывать.

Вариант 14. Вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина растянута.

Вариант 16. Вес стержней О1А и О2В не учитывать.

Вариант 18. Р – вес блока радиуса R3.