Теоретическая механика (стр. 24 )

11.    Записать формулу для определения главного вектора реакций внутренних связей.

12.    Записать формулу для определения вектора скорости центра масс механической системы.

13.    Записать формулу для определения вектора ускорения центра масс механической системы.

14.    Записать формулы для определения проекций вектора скорости центра масс механической системы на координатные оси.

15.    Записать формулы для определения проекций вектора ускорения центра масс механической системы на координатные оси.

16.    Записать формулу для определения модуля скорости центра масс механической системы.

17.    Записать формулу для определения модуля ускорения центра масс механической системы.

18.    Что является мерой инертности при поступательном движении твёрдого тела?

19.    Что является мерой инертности при вращательном движении твёрдого тела?

20.    Сформулировать определение понятия «момент инерции тела относительно оси вращения».

21.    Что характеризует момент инерции тела относительно оси вращения?

22.    Сформулировать теорему Штейнера.

23.    Записать формулу для определения момента инерции тела относительно вертикальной оси вращения.

24.    Сформулировать определение «радиус инерции твёрдого тела относительно оси вращения».

25.    Записать формулу для определения момента инерции механической системы.

 

5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

 

5.1. Теорема о движении центра масс

механической системы

 

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, находящейся под действием активных сил , реакций  внешних связей и внутренних сил  в инерциальной системе отсчёта ОXYZ (рис. 5.1).

Поскольку главный вектор внутренних сил = Σ= 0, то теорема о движении центра масс неизменяемой механической системы выражается векторным равенством:

m·ac = Σ+ Σ = FE + RE,

где FE = Σ – главный вектор активных сил; RE = Σ – главный вектор реакций внешних связей.

 

Произведение массы механической системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме приложенных к ней активных сил и реакций внешних связей.

 

Таким образом, центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены внешние силы (активные силы и реакции внешних связей).

Проецированием последнего векторного равенства на координатные оси системы отсчёта OXYZ получим дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы:

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ,

где Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ – суммы проекций соответственно активных сил и реакций внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчёта.

Из последних уравнений следует, что внутренние силы не влияют на движение центра масс неизменяемой механической системы.

 

 

Следствия из теоремы о движении центра масс

 

1. Если геометрическая сумма активных сил и реакций внешних связей постоянно равна нулю (Σ+ Σ= 0), то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

 

Таким образом, если Σ+ Σ= 0, то aС = 0, т. е. VС = const. Если начальная скорость VС0 центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же VС0 ≠ 0, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

 

2. Если суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на какую-либо ось остаются всё время равными нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось неподвижна или движется равномерно.

Действительно, если Σ+ Σ= 0, то = 0, т. е. = const. Если при этом в начальный момент времени = 0, то = 0, ХС = const, т. е. координата ХС центра масс остается постоянной.

Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохранения движения центра масс механической системы.

С помощью теоремы о движении центра масс механической системы решают задачи, в которых рассматривается только поступательная часть движения тел, образующих механическую систему.

 

Рекомендуется следующий алгоритм решения задач.

 

1.         Выбирается система отсчёта.

2.         К механической системе прикладываются все активные силы и реакции внешних связей.

3. Записывается теорема о движении центра масс (m·ac = Σ+ Σ = FE + RE) в проекциях на оси системы отсчёта:

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ.

4.    Вычисляются суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на оси системы отсчёта и подставляются в последние выражения.

5.    В зависимости от условий решается прямая либо обратная задача динамики.

Поскольку для заочной формы обучения курсовых заданий на использование теоремы о движении центра масс механической системы не предусмотрено, то примеры решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не приведены.