Теоретическая механика (стр. 36 )

Как известно, точки механической системы осуществляют движение под действием активных сил , реакций  внешних связей и внутренних сил . В этом случае элементарная работа δAS внешних сил (, ) и внутренних сил , приложенных к точке, будет равна

δAS = (++)·dU =

= ·dU·cos(, dU) + ·dU·cos(, dU) + ·dU·cos(, dU).

Определим работу силы тяжести G при перемещении точки из положения М1 в положение М2 в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.25).

Работу A(G) силы тяжести G определяют по формуле

A(G) = ± G·H,

где G – модуль силы тяжести (вес); Н – изменение высоты точки при её перемещении из положения М1 в положение М2.

Знак (+) соответствует перемещению точки вниз, а знак (–) соответствует перемещению точки вверх.

 

Таким образом, работа силы тяжести равна взятому со знаком (+) или (–) произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки её приложения.

 

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка её приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки.

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются только неизменяемые механические системы. Для таких систем элементарная работа δAS() внутренних сил, определяемая как сумма элементарных работ внутренних сил, действующих на точки, равна нулю.

δAS() = Σ·dU·cos(, dU) = 0.

Исходя из этого, элементарную работу δAS при перемещении неизменяемой механической системы определяют по формулам:

δAS = Σ(+ )·dU;

δAS = Σ·dU·cos(, dU) + Σ·dU·cos(, dU).

В процессе движения механической системы её тела осуществляют три вида движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.

При поступательном движении твёрдого тела, рассматриваемого как неизменяемая механическая система, элементарная работа δАS внешних сил, приложенных к нему, равна

δAS = Σ·dU·cos(, dU) + Σ·dU·cos(, dU).

При вращательном движении тела относительно оси OZ имеем

δAS = ΣMOZ()·δφ + ΣMOZ()·δφ,

где ΣMOZ(), ΣMOZ() – соответственно моменты активных сил  и реакций  внешних связей относительно оси OZ вращения тела; δφ – элементарный угол поворота тела (приращение угла поворота тела).

Так как плоскопараллельное движение твёрдого тела есть сумма поступательного движения со скоростью полюса (как правило, за полюс принимают центр масс твёрдого тела) и вращательного движения с угловой скоростью  относительно оси, проходящей через полюс, то элементарную работу δAS определяют по формуле

δAS = Σ·dUС·cos(, dUС) + Σ·dUС·cos(, dUС) +

+ ΣMCZ()·δφ +ΣMCZ()·δφ,

где ΣMCZ(), ΣMCZ() – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси CZ , проходящей через центр масс тела; dUC – элементарное перемещение центра масс тела.

В инженерных дисциплинах широко используется понятие «мощность силы». Определим это понятие.

 

Мощность силы – величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.

 

Мощность обозначают символом N и находят по формуле

N = F·V = F·V·cos(F, V).

Так как мощность силы характеризует быстроту выполнения работы, то величину мощности можно находить по формуле

N = δA(F)/dt,

где δA(F) – элементарная работа силы; dt – промежуток времени, за который совершена элементарная работа.

Единица измерения мощности [Дж/с] = [Вт], (Bатт).

Для поступательного движения твёрдого тела мощность определяют по формуле

N = Σ·VС·cos(, VС) + Σ·VС·cos(, VС),

где VС = dUС/dt – скорость центра масс.

При вращательном движении твёрдого тела имеем

N = ΣMOZ()· + ΣMOZ()·,

где  – угловая скорость вращения тела.

Вычисление суммы работ сил осуществляют по следующему алгоритму.

1.   Изобржают на рисунке силы, приложенные к материальной точке либо к системе материальных точек.

2.   Изображают элементарные перемещения точек системы.

3.   Вычисляют элементарную работу сил, т. е. сумму работ всех сил на элементарных перемещениях точек системы.

4.   Вычисляют искомую сумму работ сил на конечных перемещениях как сумму определённых интегралов, взятых в соответствующих пределах от элементарных работ. При наличии сил тяжести вычисляют работу этих сил на конечных перемещениях по формуле A(Gi) = ±Gi·HСi, где HСi – высота, на которую перемещается центр Сi масс i-го тела.

 

5.5.2. Кинетическая энергия механической системы

 

В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек.

1. Механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения.

2. Механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.).