Теоретическая механика (стр. 6 )

7.         Найденные проекции , ,  ускорения подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

8.         Определяют проекции POX, POY, POZ равнодействующей активных сил FiE и реакций RiE внешних связей на координатные оси:

POX = m· = Σ + Σ;

POY = m· = Σ + Σ;

POZ = m· = Σ + Σ.

9.         Определяют модуль Р равнодействующей активных сил FiE и реакций RiE внешних связей, действующих на точку:

.

10. Для ориентации вектора Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей в пространстве определяют направляющие косинусы:

cos(P, i) = POX/P; cos(P, j) = POY/P; cos(P, k) = POZ/P.

11. По величине значений направляющих косинусов находят величины углов, составленных направлениями координатных осей системы отсчёта и направлением силы Р.

12. Равнодействующую Р активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей, действующих на точку, изображают на чертеже. Необходимо еще раз отметить, что ускорение a точки направлено так же, как и сила Р.

 

1.8. Пример решения первой задачи динамики

точки в декартовой системе отсчёта

 

Условие задачи.

Под действием горизонтальной силы F1 движение материальной точки массой m = 8 кг происходит по гладкой горизонтальной плоскости OXY согласно уравнениям X = 0,05·t3, Y = 0,3·t2. Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t1 = 4 с (рис. 1.5).

Решение.

1.         Выбираем систему отсчёта ОXY.

2.         Изобразим точку на траектории её движения в произвольный момент времени. Согласно известным положениям кинематики скорость V точки направлена по касательной к траектории движения, а её ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения.

3.         Так как начальные условия движения точки не заданы, то на рис. 1.5 они не показаны.

4.         Согласно условию задачи к точке приложены активные силы F1 и G. Так как поверхность, по которой перемещается точка, гладкая, на точку действует только нормальная реакция N. Основное уравнение динамики для рассматриваемой задачи имеет вид m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + F1 + N. Поскольку рис. 1.5 приведён в ортогональной проекции, то сила тяжести G и нормальная реакция N не

показаны.

 

5.         Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m· = Σ + Σ = F1OX = РOX; (1)

m· = Σ + Σ = F1OY = РOY; (2)

m· = Σ + Σ = F1OZ = POZ. (3)

6.         По заданным уравнениям движения X = 0,05·t3, Y = 0,3·t2 определим проекции , ,  ускорения точки на координатные оси.

7.         Найденные значения , ,  подставим в уравнения (1), (2), (3).

m·(0,3·t) = F1OX = РOX; (1I)

m·(0,6) = F1OY = РOY; (2I)

m·(0) = F1OZ = РOZ = 0. (3I)

8. Определим модуль Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей.

 = .

9. Вычислим значения F1OX, F1OY, P для момента времени t1= 4 c.

F1OX(t1) = 0,3·m·t1 = 0,3·8·4 = 9,6 H;

F1OY(t1) = 0,6·m = 0,6·8 = 4,8 H;

= 10,733 H.

10.     Определим направляющие косинусы и углы, составленные направлениями координатных осей и силой.

cos(P(t1), i) = F1OX(t1)/P(t1) = 9,6/10,733 = 0,894; α = 26,563о;

cos(P(t1), j) = F1OY(t1)/P(t1) = 4,8/10,733 = 0,447; β = 63,434о.

11. Определим координаты точки на траектории её движения в момент времени t1, и полученную информацию отобразим на рис. 1.6: X(t1) = 0,05·43 = 3,2 м; Y(t1) = 0,3·42 = 2,4 м.

Таким образом, задача решена, ответы на поставленные вопросы получены.

 

1.9. Алгоритм решения первых задач динамики

точки в естественных координатных осях

 

В первой задаче динамики точки известно уравнение S = f(t) движения точки в естественных координатных осях. Могут быть заданы начальные условия движения, к которым относятся дуговая координата S0 и скорость V0 в момент времени t0 = 0. При естественном способе задания движения точки известно следующее: вид траектории движения; начало отсчёта дуговой координаты S; положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты.

 

Алгоритм решения первых задач динамики в естественных координатных осях представляет собой следующую совокупность действий исполнителя.

1.         Изображается известная траектория движения точки. На этой траектории наносятся начало отсчёта (О), положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты S.

2.         Точка изображается на траектории движения в произвольный момент времени. При этом точка имеет координату S > 0 и движется в сторону её увеличения ускоренно.

3.         В эту точку помещается начало координат ПСО, которая представляет собой совокупность трёх взаимно перпендикулярных осей: касательная, главная нормаль, бинормаль. При этом единичный вектор τ всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты S. Единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения точки.

4.         По данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (S0, V0).

5.         К точке прикладывают активные силы FiE и реакции RiE внешних связей.

6.         Записывают дифференциальные уравнения движения точки, которые имеют следующий вид:

m· = Σ + Σ;

m·/ρ = Σ + Σ;

Σ + Σ = 0.