Теоретическая механика (стр. 60 )

Если точки О и С совпадают, то такой гироскоп называют астатическим (уравновешенным), в противном случае – тяжёлым.

Определить изменение положения оси ОХ вращения тела 2, пренебрегая трением в подшипниках.

 

Решение.

 

Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы, так как его положение определяется тремя независимыми углами поворота относительно осей OX, OY, OZ, пересекающихся в центре С масс механической системы, состоящей из тел 2, 3, 4. При этих условиях главный момент  внешних сил относительно точки О равен нулю: ( = 0). Кинетический момент LO гироскопа направлен по оси ОХ. Конец вектора LO обозначим точкой D (см. рис 7.7).

Применив теорему Резаля (U = ), находим U = 0, т. е. скорость точки U равна нулю. Это означает, что при вращении массивного тела 2 ось ОХ гироскопа сохраняет неизменное положение в пространстве.

Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче, получен.

 

7.2. Гироскопический момент

 

При изменении положения оси гироскопа (рис. 7.8) формируется гироскопический момент  относительно точки О, который определяют по формуле

 = JO1Z1·×,

где JO1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси O1Z1;  – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси O1Z1;  – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси прецессии OZ.

 

На рис. 7.8 оси OZ, O1Z1 расположены в плоскости OYZ. Согласно правилу векторного произведения вектор одновременно перпендикулярен векторам ,  и направлен в сторону, откуда виден поворот вектора  к вектору , происходящий против хода часовой стрелки. Исходя из этого правила, вектор  лежит на оси ОХ и направлен в сторону увеличения координаты Х. Модуль  гироскопического момента определяют по формуле

 = JO1Z1·II·II = JO1Z1·ω·ω1·sin(θ),

где ω = II, ω1 = II – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

Гироскопический момент  стремится совместить ось гироскопа с осью прецессии.

 

Рассмотрим быстрое вращение тела 1 с угловой скоростью  в рамке 2, которая вращается относительно угловой оси OY с угловой скоростью  (рис. 7.9).

 

При этом выполняется неравенство II >> II. По отношению к рамке 2 цилиндрические шарниры в точках А и В являются внешними связями. В этих связях формируются гироскопические (динамические) реакции RA, RB, противодействующие моменту . Реакции RA, RB образуют пару сил, алгебраический момент MSopr которой равен

MSopr = RA·h.

Вектор MSopr этой пары сил направлен противоположно вектору гироскопического момента (рис. 7.10).

 

Вектор MSopr момента реакций опор А и В и его модуль MSopr можно также определять по формулам:

MSopr = –  = × JOХ··= – JOХ·×;

MSopr = JOХ·ω·ω1·= – JOХ·II×II.

 

Задачи на определение гироскопических реакций опор рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Изобразить на рисунке векторы  угловой скорости собственного вращения гироскопа и его кинетического момента LO = JOХ·.

2. Определить и изобразить на рисунке вектор  угловой скорости прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент  и его модуль по формулам:  = JO1Z1·×;  = JO1Z1·II·II = JO1Z1·ω·ω1·sin(θ),

где ω = II, ω1 = II – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

4. Определить вектор MSopr момента реакций опор А и В и его модуль MSopr по формулам:

MSopr = –  = × JOХ··= – JOХ·×;

MSopr = JOХ·ω·ω1·= – JOХ·II×II.

5. Определить модуль реакции одной из опор гироскопа по формуле RA = JOХ·ω·ω1/h.

 

8. УДАР

 

8.1. Удар двух тел

 

Рассмотрим удар двух тел, движущихся поступательно, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 8.1).