Теоретическая механика (стр. 11 )

Fyn = c·Δ = c·Y,

где с – коэффициент жёсткости пружины, численно равный силе упругости при её деформации Δ = 1 м.

Коэффициент жесткости является конструктивной характеристикой пружины. Этот коэффициент имеет размерность [Н/м].

Таким образом, сила Fyn упругости деформированной пружины всегда направлена к началу системы отсчёта (положению статического равновесия точки) и пропорциональна величине отклонения точки от этого положения. Другими словами, сила упругости относится к разряду восстанавливающих сил, зависящих от положения точки.

Колебания могут происходить и под действием восстанавливающих сил, изменяющихся по другим законам.

В инженерных расчётах широкое применение получили четыре основных случая колебательного движения материальной точки:

1) свободные колебания, вызванные постоянной системой сил и восстанавливающей силой;

2) колебания, совершаемые под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости;

3) вынужденные колебания, осуществляющиеся под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону;

4) вынужденные колебания, происходящие под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Рассмотрим последовательно эти колебания.

 

2.2. Свободные колебания материальной точки

 

Свободные колебания происходят под действием постоянной системы сил и восстанавливающей силы.

Для получения дифференциальных уравнений колебательного движения точки воспользуемся расчётной схемой, приведённой на рис. 2.1,б.

Согласно рис. 2.1,б на точку действует постоянная система сил (G, N) и восстанавливающая сила Fyn. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

m·= Σ + Σ = – Fyn = – c·Δ = – c·Y;

m· = Σ + Σ = – G + N.

В этих уравнениях ,  – проекции ускорения a соответственно на координатные оси OY и OZ. Поскольку  = 0, то имеем N = G = m·g. Таким образом, силы G и N образуют уравновешенную систему сил и, следовательно, эта система сил не влияет на параметры движения точки. Исходя из этого, расчётная схема для определения дифференциального уравнения движения точки упрощается (рис. 2.2).

Дифференциальное уравнение горизонтального движения точки представим в виде

+ (c/m)·Y = 0.

Введем постоянный коэффициент k2 =  или k =. Тогда имеем

 + k2·Y = 0.

Это выражение называют дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.

Коэффициент k называют циклической частотой свободных колебаний, который измеряют в рад/с или в с-1. Физический смысл коэффициента k – число полных колебаний за время t = 2π = 6,28 c.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет два вида.

Первый вид:

Y = C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t),

где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Пусть при t0 = 0 точка имеет координату Y0 и проекцию  скорости V0 на ось ОY. Тогда уравнение свободных колебаний точки получит вид

Y = ·cos(k·t) + ·sin(k·t).

Второй вид:

Y = A·sin(k·t + β),

где А и β – постоянные интегрирования; А – амплитуда свободных колебаний; (k·t + β) – фаза колебаний; β – начальная фаза колебаний.

По заданным начальным условиям движения точки (Y0, ) постоянные интегрирования определяют по следующей совокупности формул:

A = ;

sin(β) = ; cos(β) = ; tg(β) = .

На рис. 2.3 представлен общий вид графика свободных колебаний точки.

 

При изучении свободных (гармонических) колебаний широко используют понятия «амплитуда А», «период Т свободных колебаний».

 

Амплитуда свободных колебаний – величина наибольшего отклонения точки от положения статического равновесия.

 

Период свободных колебаний – отрезок времени, за который точка проходит положение статического равновесия в одном и том же направлении.

 

Период свободных колебаний определяют по формуле

T =  = .

Анализ формулы показывает, что период свободных колебаний Т является постоянной величиной. С возрастанием массы m точки период Т увеличивается и соответственно уменьшается при увеличении коэффициента «с» жесткости пружины.

Следует отметить, что свободные колебания не затухают.

Для практических расчетов рекомендуется использовать формулу

Y = A·sin(k·t + β).

В инженерной практике довольно часто рассматривают колебательное движение тела, подвешенного на пружинах или установленного на них. Если начало системы отсчёта поместить в положение статического равновесия груза, то эти колебания также сводятся к свободным колебаниям точки, дифференциальное уравнение движения которой имеет стандартный вид  + k2·Y = 0 и, следовательно, стандартное решение.

2.3. Дифференциальное уравнение движения точки под

действием постоянной системы сил, восстанавливающей

силы и силы сопротивления движению

 

Рассмотрим движение материальной точки по гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости (рис. 2.4).

 

Как и ранее, начало системы отсчёта поместим в положение статического равновесия точки. В этом положении пружина не деформирована, т. е. имеет длину l0. При оформлении рис. 2.4 используются рекомендации, приведённые в алгоритме решения вторых задач динамики точки.

Основное уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид

m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + N + Rc + Fyn,

где G – сила тяжести; N – нормальная реакция; Rc – сила сопротивления движению точки; Fyn – сила упругости пружины.

Так как силы G и N на кинематические параметры точки не влияют, то они на рис. 2.4 не показаны.

Сила Rc сопротивления движению точки зависит от внешней среды, в которой эта точка перемещается.

Рассмотрим вариант, при котором сила Rc пропорциональна первой степени скорости V точки. Примером такой силы является сопротивление воздуха при движении тела. В этом случае силу Rc определяют по формуле Rc = – α·V, где α – постоянный коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [Н/(м/с)]. Коэффициент α численно равен силе сопротивления при скорости движения точки, равной 1 м/с. Сила сопротивления Rc всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости V.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

m·= Σ + Σ = – α· – c·Y.

Это уравнение приведем к виду

+ (α/m)·+ (c/m)·Y = 0.