Теоретическая механика (стр. 23 )

7.         .Для ориентации вектора скорости VC центра масс в пространстве определить направляющие косинусы по формулам: cos(VC, i) = / VC; cos(VC, k) = / VC; cos(VC, k) = / VC.

8.         Определить проекции , ,  ускорения центра масс и модуль этого ускорения по формулам: = ΣmCi·/m;  = ΣmCi·/m; = ΣmCi·/m; aC = .

9.         Определить направляющие косинусы по формулам: cos(aC, i) = /aC; cos(aC, j) = /aC; cos(aC, k) = /aC.

10.          Для момента времени t1 определить кинематические характеристики центра масс. Результаты вычислений свести в таблицу и при необходимости проиллюстрировать рисунком.

 

4.3. Моменты инерции твёрдого тела. Радиус инерции

 

При поступательном движении твёрдого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой инертности является масса. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения.

Напомним, что в теоретической механике твёрдое тело рассматривается как механическая система, образованная непрерывной совокупностью взаимосвязанных материальных точек.

 

Момент инерции механической системы относительно оси – величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси.

 

Рассмотрим твёрдое тело как множество материальных точек Ci с координатами XCi, YCi, ZCi (рис. 4.2).

Согласно определению моменты инерции JOX, JOY, JOZ относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ вычисляют по формулам:

JOX = ΣmCi·((YCi)2 + (ZCi)2);

JOY = ΣmCi·((XCi)2 + (ZCi)2);

JOZ = ΣmCi·((XCi)2+(YCi)2).

Момент инерции относительно оси характеризует распределение масс материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен и имеет размерность кг/м2.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, всегда имеет минимальное значение.

Формулы для определения моментов инерции некоторых однородных твёрдых тел приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Осевые моменты инерции однородных пластинок

 

Форма тела	JOX	JOY	JOZ	Форма тела
1	2	3	4	5
	m·R2/2	m·R2/4	m·R2/4
	m·(R2+r2)/2	m·(R2+r2)/4	m·(R2+r2)/4
	m·(b2+d2)/3	m·d2/3	m·b2/3

Окончание табл. 4.1

 

1	2	3	4	5
	m·b2/3	0	m·b2/3
	m·(3b2+d2)/18	m·d2/18	m·b2/6

 

При выполнении курсовых заданий довольно часто требуется определить момент инерции относительно оси, которая через центр масс тела не проходит. Для этой цели используют теорему Штейнера о зависимости между моментом инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.

 

Момент инерции твёрдого тела относительно оси равен сумме его момента относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С, и произведения массы твёрдого тела на квадрат расстояния между параллельными осями.

 

Согласно этой теореме определим момент инерции круглой однородной пластины относительно оси ОХ (рис. 4.3).

JOX = JCX +m·(ОС)2 = JCX + m·d2 = m·R2/2 + m·d2.

Для твёрдого тела в случае неоднородного распределения масс в его поперечном сечении, перпендикулярном оси вращения, момент инерции вычисляют по формуле

JOX = m·(iOX)2,

где iOX – радиус инерции тела относительно оси вращения ОХ, м.

 

Радиус инерции твёрдого тела относительно оси вращения – величина, произведение квадрата которой на массу тела равно моменту инерции тела относительно этой оси.

 

Таким образом, если поперечное сечение твёрдого тела по отношению к оси его вращения имеет сложную конфигурацию, то массу тела располагают равномерно на окружности, радиус которой равен радиусу инерции i.

Радиус инерции определяют экспериментальным путём по специальной методике.

Если надо вычислить момент инерции механической системы, состоящей из нескольких твёрдых тел, причем момент инерции каждого из порознь взятых твёрдых тел известен, то момент инерции системы определяют как сумму моментов инерции всех твёрдых тел, входящих в систему, относительно той же оси.

JОХ = ΣJiОХ,

где JiОХ – момент инерции i-го тела механической системы относительно оси вращения ОХ.

Для механических систем в теоретической механике используют понятие «радиус инерции механической системы относительно оси вращения».

 

Радиус инерции механической системы относительно оси вращения – величина, квадрат которой равен отношению момента инерции механической системы относительно данной оси к массе этой системы.

iОХ = .

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

1.   Сформулировать определение понятия «механическая система».

2.   Сформулировать определение понятия «свободная механическая система».

3.   Сформулировать определение понятия «несвободная механическая система».

4.   Сформулировать определение понятия «внешние силы».

5.   Сформулировать определение понятия «внутренние силы».

6.   Сформулировать определение понятия «неизменяемая механическая система».

7.   Сформулировать определение понятия «центр масс механической системы».

8.   Записать формулу для определения радиус-вектора центра масс механической системы.

9.   Записать формулу для определения главного вектора активных сил.

10.    Записать формулу для определения главного вектора реакций внешних связей.