Теоретическая механика (стр. 7 )

7.         По заданному уравнению движения S = f(t) определяют проекцию  скорости и проекцию  ускорения точки на касательную.

8.         Определённые проекции ,  подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

9.         Определяют проекции Poτ, Pon равнодействующей активных сил FiE и реакций RiE внешних связей на координатные оси ПСО. Для этого необходимо решить следующие уравнения:

Poτ = m· = Σ + Σ; (1)

Pon = m·/ρ = Σ + Σ; (2)

Σ + Σ = 0. (3)

10.          Определяют модуль Р равнодействующей активных сил FiE и реакций RiE внешних связей, действующих на точку.

.

11.          Для ориентации вектора Р в пространстве определяют направляющие косинусы.

cos(P, τ) = Pоτ/P; cos(P, n) = Pоn/P.

12.          По величине значений направляющих косинусов находят значения углов, составленных направлениями координатных осей ПСО и силой Р.

13.          Равнодействующую Р активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей изображают на рисунке, иллюстрирующем результаты расчётов. Необходимо отметить, что сила Р лежит в соприкасающейся плоскости так же, как и ускорение a точки и имеет с ним одинаковое направление.

 

1.10. Пример решения первой задачи динамики

точки в естественных координатных осях

 

Условие задачи.

Материальная точка массой m = 1,2 кг движется по окружности радиуса r = 1 м на гладкой горизонтальной поверхности согласно уравнению S = 2,4·t2 (рис. 1.7). Заданы начальные условия движения: S0 = 0; V0 = 0. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке в момент времени t1 = 1 c.

Решение.

1.         На рис. 1.7 изобразим материальную точку в произвольный момент времени.

2.         В эту точку поместим начало координат ПСО.

3.         Орт τ направлен в сторону возрастания дуговой координаты S, а орт n направлен к центру кривизны траектории движения. Этим центром является центр окружности. Радиус ρ кривизны траектории движения точки равен радиусу окружности ρ = r.

4.         Покажем на рис. 1.7 начальные условия движения. По условиям задачи S0 = 0; V0=0.

5.         Согласно условию задачи к точке приложены активные силы G и F1 и реакция N гладкой поверхности. Поскольку рис. 1.7 изображен в ортогональных проекциях, то силы G и N перпендикулярны опорной поверхности точки и, следовательно, на рисунке не видны. Основное уравнение динамики для решаемой задачи имеет вид

m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + F1+ N.

 

6. Запишем дифференциальные уравнения движения точки в естественных координатных осях.

m· = Σ + Σ = F1·sin(α); (1)

m·/ρ = Σ + Σ = F1·cos(α); (2)

Σ + Σ = 0 = – G + N. (3)

Из уравнения (3) имеем N = G = m·g = 1,2·9,81 = 11,772 H.

7. По заданному уравнению S = 2,4·t2 определим проекцию  скорости V и проекцию  ускорения точки на касательную.

 = 4,8·t;  = 4,8 м/с2.

8. Найденные проекции ,  подставим в уравнения (1), (2). Получим:

m·(4,8) = F1·sin(α); (1I)

m·(4,8·t)2/r = F1·cos(α). (2I)

9. Согласно уравнениям (1I), (2I) имеем:

Poτ = F1·sin(α); Pon = F1·cos(α),

где Poτ, Pon – проекции равнодействующей Р = G + F1 + N активных сил и реакций внешних связей, приложенных к точке, на координатные оси ПСО. Тогда:

Poτ = m·(4,8); (1II)

Pon = m·(4,8·t)/r. (2II)

Определим значения P oτ и Pon в момент времени t1.

Poτ(t1) = 1,2·4,8 = 5,76 H;

Pon(t1) = m·(4,8·t1) = 1,2·4,8·1 = 5,76 H.

10. Определим модуль Р равнодействующей в момент времени t1.

=

= = 8,145 Н.

11. Для ориентации вектора Р в пространстве определим направляющие косинусы и величину угла α, составленного направлением равнодействующей силы Р и ортом τ.

cos(P(t1), τ) = Poτ(t1)/P(t1) = 5,76/8,145 = 0,707.

α = arcos(0,707) = 45o.

12. Определим положение точки на траектории её движения в момент времени t1 и зафиксируем это положение центральным углом β.

S(t1) = 2,4·(t1)2 = 2,4·12 = 2,4 м;

β = S(t1)/r = 2,4/1 = 2,4 рад.

В градусной мере β = (2,4/3,14)·180о = 137,579о.

Полученные результаты расчётов проиллюстрируем рис. 1.8.

 

Таким образом, задача решена. Ответы на вопросы получены.

 

1.11. Алгоритм решения вторых задач динамики

точки в декартовой системе отсчёта

 

Во второй (обратной) задаче динамики по известным силам, действующим на материальную точку, и начальным условиям её движения требуется определить уравнения движения точки: X = f1(t), Y = f2(t), Z = f3(t), а также её положение, скорость и ускорение в момент времени t1. Эта задача имеет большое практическое значение и в общем случае является более сложной по сравнению с первой задачей динамики.

 

Алгоритм решения второй задачи динамики содержит следующие действия.

1.         В механической системе выделяют материальную точку, движение которой рассматривают.

2.         Выбирают инерциальную систему отсчёта ОXYZ. Начало системы отсчёта располагают в точке тела, по отношению к которому рассматривают движение выделенной из механической системы материальной точки.

3.         В системе отсчёта ОXYZ точку изображают в произвольный момент времени таким образом, чтобы она имела положительные координаты и двигалась в сторону их увеличения ускоренно.

4.         По исходным данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (X0, Y0, Z0, , , ).

5.         К точке прикладывают активные (задаваемые) силы FiЕ.

6.         Согласно аксиоме связей эти связи отбрасывают и их действие заменяют соответствующими реакциями RiЕ.

7.         Записывают дифференциальные уравнения движения точки: