Теоретическая механика (стр. 16 )

m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ,

где FiЕ – активная сила; RiЕ – реакция внешней связи.

 

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчёта OXYZ называется относительным и характеризуется относительной скоростью Vr и относительным ускорением ar. Положение точки на траектории относительного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями относительного движения:

X = f4(t); Y = f5(t); Z = f6(t).

Подвижная система отсчёта OXYZ не является инерциальной. Применение в чистом виде первого и второго законов классической механики в ПСО неправомерно.

Рассмотрим переносное движение точки (рис. 3.2) и напомним суть некоторых понятий кинематики, используемых в этом разделе динамики.

Если координаты точки в ПСО постоянны (Х = C1 = const; Y = C2 = const; Z = C3 = const), то движение этой точки вместе с ПСО по отношению к неподвижной системе отсчёта называют переносным движением. Это движение характеризуется переносной скоростью Ve и переносным ускорением ae. Положение точки на траектории переносного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называют уравнениями переносного движения:

= f7(t) = f8(t) = f9(t).

 

Из курса кинематики известно, что абсолютное ускорение a точки определяют по формуле

a = ar + ae + ac,

где ar – относительное ускорение; ae – переносное ускорение; ac – ускорение Кориолиса.

Ускорение Кориолиса определяют по формуле

ac = 2( × Vr),

где  – вектор угловой скорости переносного вращения.

Модуль кориолисова ускорения находят по формуле

ac = 2ωe·Vr·sin(,Vr),

где ωе = II – модуль угловой скорости  переносного вращения.

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1)         если ωe = 0, т. е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения в нуль угловой скорости  непоступательного переносного движения;

2)         если Vr = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в момент равенства нулю относительной скорости движущейся точки;

3)         если sin(,Vr) = 0, т. е. в случае, когда вектор относительной скорости Vr и вектор переносной угловой скорости  параллельны.

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. Согласно этому правилу вектор ac одновременно перпендикулярен векторам  и Vr. При этом ac направлено в сторону, откуда поворот вектора  к вектору Vr для совмещения их направлений виден происходящим против хода часовой стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180о.

Направление ускорения Кориолиса находят также по правилу Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса необходимо относительную скорость Vr точки спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на угол 90о в сторону переносного вращения.

Если подставим абсолютное ускорение a = ar + ae + ac в основное уравнение динамики точки m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ, то получим

m·(ar + ae + ac) = ΣFiЕ + ΣRiЕ.

Разрешим это уравнение относительно m·ar:

m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ – m·ae – m·ac.

Введём два вектора: Фе = – m·ae; Фс = – m·ac. Эти векторы назовем переносной и кориолисовой силами инерции.

При исследовании движения механических систем в теоретической механике используют следующие понятия.

 

Сила инерции – величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

 

Переносная сила инерции при рассмотрении движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её переносное ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

 

Кориолисова сила инерции при рассмотрении движения точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её кориолисово ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

 

Используя понятия переносной и кориолисовой сил инерции, получим

m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе + Фс.

Последнее выражение называют дифференциальным уравнением относительного движения точки в векторной форме или основным уравнением динамики относительного движения.

 

Произведение массы m точки на её относительное ускорение ar равно геометрической сумме активных сил FiЕ, реакций внешних связей RiЕ, переносной силы инерции Фе и кориолисовой силы инерции Фс.

 

Проецируя последнее векторное равенство на координатные оси ПСО, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки:

m· = Σ + Σ +  + ;

m· = Σ + Σ +  + ;

m· = Σ + Σ +  + .

 

Произведение массы точки на проекцию её относительного ускорения на координатную ось ПСО равно сумме проекций активных сил, реакций внешних связей и переносной и кориолисовой сил инерции на ту же ось.

 

Силы инерции Фе, Фс направлены противоположно ускорениям ae, ac (рис. 3.3).

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

m· = Σ + Σ +  + ;

m· = Σ + Σ +  + ;