Теоретическая механика (стр. 5 )

Как это отмечалось ранее, естественными координатными осями называют три взаимно-перпендикулярные оси: касательная (единичный вектор τ всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты S); главная нормаль (единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения); бинормаль (единичный вектор b перпендикулярен векторам τ и n и направлен так же, как и вектор k по отношению к векторам i, j в правой декартовой системе отсчёта OXYZ) (рис. 1.3).

Начало естественных координатных осей всегда располагается на траектории в месте положения точки и, следовательно, перемещается вместе с точкой.

Таким образом, естественные координатные оси образуют подвижную систему отсчёта (ПСО).

Итак, рассматривается движение точки массой m в ПСО под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 1.4). Уравнение движения точки S = f(t) задано.

Из курса кинематики известно векторное выражение

a = aoτ + aon ,

где a – вектор ускорения точки; aoτ – вектор касательного ускорения; aon – вектор нормального ускорения.

 

Спроецируем основное уравнение динамики m·a = ΣFiE + ΣRiE на координатные оси подвижной системы отсчёта:

m·aoτ = Σ + Σ;

m·aon = Σ + Σ;

m·aob = Σ + Σ,

где aoτ, aon, aob – проекции ускорения a соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль; Σ, Σ, Σ – суммы проекций активных сил на оси ПСО; Σ, Σ, Σ – суммы проекций реакций внешних связей на оси ПСО.

Известно также, что aoτ = ; aon = /ρ, где ρ – радиус кривизны траектории точки. При этом aob = 0, так как вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и на бинормаль не проецируется. С учетом изложенного выше последние математические выражения приобретают вид:

 

m· = Σ + Σ;

m·/ρ = Σ + Σ;

Σ + Σ = 0.

 

Произведения массы m точки и проекций её ускорения a на координатные оси ПСО равны сумме проекций активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей на те же оси ПСО.

 

Последние математические выражения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях.

 

ПРИМЕЧАНИЕ. Дифференциальными уравнениями движения в естественных координатных осях удобно пользоваться тогда, когда точно известен вид траектории движения. В этом случае решение задачи существенно упрощается.

 

1.6. Задачи динамики точки

 

В общем случае все задачи динамики точки подразделяют на прямые (первые) и обратные (вторые).

 

Суть первой задачи динамики точки заключается в следующем: известна масса m точки и её уравнения движения, требуется определить модуль и направление равнодействующей активных сил и реакций внешних связей, действующих на точку.

 

Вторая задача динамики заключается в следующем: зная силы, действующие на точку, её массу, а также начальное положение точки и её начальную скорость, требуется определить уравнения движения точки.

 

Первая и вторая задачи динамики решаются по соответствующим алгоритмам.

 

1.7. Алгоритм решения первых задач динамики

точки в декартовой системе отсчёта

 

В первой задаче динамики известны уравнения движения точки: X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) и начальные условия этого движения. К начальным условиям движения точки отнесены: положение точки, характеризуемое координатами X0, Y0, Z0 в момент времени t0 = 0; проекции , ,  начальной скорости V0 при t0 = 0.

Алгоритм решения первых задач динамики предписывает чётко определённую последовательность действий исполнителя, которая приведена ниже.

1.         Выбирают инерциальную систему отсчёта ОXYZ.

2.         В системе отсчёта ОXYZ точку изображают в произвольный момент времени. При этом точка должна иметь координаты, значения которых больше нуля. Предполагают также, что точка движется в сторону возрастания координат ускоренно.

3.         По исходным данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (X0, Y0, Z0, , , ).

4.         К точке прикладывают активные силы FiE и реакции RiE внешних связей.

5.         Записывают соответствующие выбранной системе отсчёта ОXYZ дифференциальные уравнения движения:

m· = Σ + Σ;

m· = Σ + Σ;

m· = Σ + Σ,

где , ,  – проекции ускорения a на координатные оси; Σ, Σ, Σ – суммы проекций активных сил FiE на соответствующие координатные оси ИСО; Σ, Σ, Σ – суммы проекций реакций RiE внешних связей на оси ИСО.

6.         По заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) определяют проекции , ,  ускорения a точки на координатные оси.