Теоретическая механика (стр. 32 )

Эти свойства позволяют свести изучение поступательного движения твёрдого тела к изучению движения его отдельной точки. За такую точку, как правило, выбирают центр масс твёрдого тела.

Выражения XC = f1(t), YC = f2(t), ZC = f3(t), описывающие движение центра С масс твёрдого тела в пространстве, называют уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

Твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил Σ (главный вектор RJ внутренних сил) всегда равна нулю (Σ= RJ = 0).

Таким образом, центр С масс твёрдого тела при его поступательном движении движется под действием активных сил  и реакций  внешних связей.

Основное уравнение динамики движения центра масс твёрдого тела имеет вид

m·aС = Σ+ Σ = + ,

где  = Σ,  = Σ – главные векторы активных сил  и реакций  внешних связей.

Главные векторы ,  прикладывают в центре масс твёрдого тела.

Как правило, основное уравнение динамики поступательного движения твёрдого тела записывают в виде

m·aС = Σ+ Σ.

Произведение массы тела на ускорение его центра масс равно геометрической сумме активных сил и реакций внешних связей, приложенных к нему.

 

Спроецируем это векторное равенство на координатные оси неподвижной (инерциальной системы отсчёта) OXYZ:

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ;

m· = Σ+ Σ,

где m – масса тела; , ,  – проекции ускорения центра масс тела на координатные оси; Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ – суммы проекций соответственно активных сил и реакций внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчёта.

Последние выражения называют дифференциальными уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

По дифференциальным уравнениям поступательного движения твёрдого тела решают прямые и обратные задачи динамики. Алгоритмы решения таких задач не отличаются от алгоритмов решения задач динамики точки, приведённых в подразделах данного учебно-методического пособия, поэтому здесь они подробно не приводятся.

Так как курсовых заданий на решение дифференциальных уравнений поступательного движения твёрдого тела по учебной программе не предусмотрено, то и примеры решения таких задач здесь не приведены.

 

5.4.2. Динамика вращательного движения твёрдого тела

 

Вращательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

 

Рассмотрим вращательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил  и реакций  внешних связей (рис. 5.17).

При вращении тела угол его поворота φ изменяется в зависимости от времени t.

φ = f(t).

Эту аналитическую зависимость называют уравнением вращательного движения твёрдого тела. При вращательном движении твёрдого тела все его точки описывают окружности с центром на оси вращения и радиусом ri.

По известному уравнению φ = f(t) вращательного движения тела определяют его угловую скорость  и угловое ускорение .

 = dφ/dt;  = d2φ/dt2.

Согласно рис. 5.17 на рассматриваемую механическую систему (твёрдое тело) кроме активных сил  действуют реакции  внешних связей. К этим реакциям отнесены: XA, YA, ZA, XB, YB,  – соответственно реакции подпятника А, цилиндрического шарнира В и реакция тела другой механической системы в точке С.

RE = Σ = XA + YA + ZA + XB + YB + ,

где RE = Σ– главный вектор реакций внешних связей.

 

Необходимо отметить, что в динамике твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил (главный вектор RJ внутренних сил) всегда равна нулю (Σ= RJ = 0).

С учетом этого дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно оси вращения OZ имеет вид

JOZ· = ΣMOZ() + ΣMOZ(),

где JOZ – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения; ΣMOZ(), ΣMOZ() – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Сравним дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела (JOZ· = ΣMOZ() + ΣMOZ()) с одним из дифференциальных уравнений поступательного движения твёрдого тела (m· = Σ+ Σ).