Теоретическая механика (стр. 9 )

Вариант 15. Дано: α = 30о; VA = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2м; d = 4 м. Определить Т и m.

 

Варианты 16 – 20 (рис. 1.12)

 

Тело скользит в течение τ секунд по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения тела по откосу равен f. Имея в точке В скорость VB , тело через Т секунд ударяется в точке С о защитную стену.

При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: α = 30о; VA = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить T и h.

Вариант 17. Дано: α = 45о; l = 6 м; VB = 2·VA; τ = 1 c; h = 6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30о; l = 2 м; VA = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и τ.

Вариант 19. Дано: α = 15о; l = 3 м; VB = 3 м/с; f ≠ 0; τ = 1,5 c; d = 2 м. Определить VA и h.

Вариант 20. Дано: α = 45о; VA = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4м. Определить l и τ.

Варианты 21 – 25 (рис. 1.13)

 

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ секунд тело в точке В со скоростью VB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью VC; при этом оно находится в воздухе Т секунд.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α = 30о; f = 0,1; VA = 1 м/с; τ = 1,5 c; h = 10 м. Определить VB и d.

Вариант 22. Дано: VA = 0; α = 45о; l = 10 м; τ = 2 c. Определить f и уравнение траектории (Y = f(X) = ?) на участке ВС в системе отсчёта XВY.

Вариант 23. Дано: f = 0; VA = 0; l = 9,81 м; τ = 2 с; h = 20 м. Определить α и Т.

Вариант 24. Дано:VA = 0; α = 30о; f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить τ и h.

Вариант 25. Дано: VA = 0; α = 30о; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить VC и τ.

 

Варианты 26 – 30 (рис. 1.14)

 

Имея в точке А скорость VA, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ секунд. Коэффициент трения скольжения по плоскости равен f. Со скоростью VB тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью VC, находясь в воздухе Т секунд.

При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: VA = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить VC и d.

Вариант 27. Дано: VA = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2 c; d = 2 м. Определить VB и h.

Вариант 28. Дано: VB = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить VA и Т.

Вариант 29. Дано: VA = 3 м/с; VB = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить VA и τ.

 

1.13. Пример выполнения курсового задания Д 1

 

В общем случае система сил, действующая на материальную точку, может быть постоянной или зависеть от времени t, положения в пространстве, скорости и т. д. В связи с этим интегрирование дифференциальных уравнений движения точки имеет свою специфику. В курсовом задании Д 1 система сил, действующая на точку, постоянна. Рассмотрим пример выполнения этого задания.

 

Условие задания.

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ секунд тело в точке В со скоростью VB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью VC; при этом оно находится в воздухе Т секунд (рис. 1.15).

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

 

Дано: VA = 1 м/с; α = 30о; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить VC и τ.

Решение.

1. Рассмотрим движение тела на участке АВ в заданной системе отсчёта АX1Y1, приняв его за материальную точку (рис. 1.16).

 

Такое допущение обосновано тем, что тело совершает поступательное движение и, следовательно, уравнения его движения такие же, как и у точки.

2. Изобразим точку в системе отсчёта АX1Y1 в произвольный момент времени t. При этом её координата Х1 = f(t) > 0 и точка движется в сторону возрастания этой координаты ускоренно. Следовательно, ускорение a имеет такое же направление, как и скорость V.

3. Согласно условию задачи при t0 = 0 начальная координата Х10 = Х1А = 0 и проекция начальной скорости = VA.

4. К точке приложим активную силу G – силу тяжести. Так как опорная поверхность точки шероховатая, то имеем две реакции: N – нормальная реакция; Ftr – сила трения скольжения. Силу Ftr направляют в сторону, противоположную направлению скорости V. Из курса статики известно, что модули силы трения и нормальной реакции связывает соотношение Ftr = f·N.

5. Запишем основное уравнение динамики точки.

m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + N + Ftr.

Спроецировав это векторное выражение на координатные оси системы отсчёта АX1Y1, получим дифференциальные уравнения движения точки:

m· = G·sin(α) – Ftr; (1)

m·= G·cos(α) – N, (2)

где ,  – проекции ускорения a на координатные оси.

Поскольку вектор a на ось AY1 не проецируется, то из уравнения (2) имеем N = G·cos(α) = m·g·cos(α). Отсюда имеем

Ftr = f·N = f·m·g·cos(α).

Анализируя последнее равенство, сделаем вывод о том, что реакции N и Ftr не зависят от того, в каком кинематическом состоянии (покоя или движения) находится точка.

С учетом изложенного уравнение (1) приводится к виду

m· = G·sin(α) – Ftr = G·sin(α) – f·N·cos(α) =

= m·g·sin(α) – f·m·g·cos(α) = m·g·(sin(α) – f·cos(α)). (1I)

Упростим последнее выражение.

 = g·(sin(α) – f·cos(α)). (1II)

6. Дважды проинтегрируем последнее уравнение.

 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t + C1;

X1 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t2/2 + C1·t + C2,

где С1, С2 – постоянные интегрирования.

7. Определим постоянные С1, С2 подстановкой в последние уравнения начальных условий движения. При t0 = 0 имеем:

= VA = g·(sin(α) – f·cos(α))·t0 + C1;

X10= Х1A = 0 = g·(sin(α) – f·cos(α))·(t0)2/2 + C1·t0 + C2.

Отсюда С1 = VA; С2 = 0. Окончательно имеем:

 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t + VA;

X1 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t2/2 + VA·t,

где X1,  – соответственно текущие координата точки и проекция её скорости на координатную ось АХ1.

Последние выражения справедливы для любого значения времени, пока точка движется по участку АВ. В момент времени τ движущееся тело находится в точке В участка АВ. Исходя из этого, получим систему двух уравнений.

 = VB = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ + VA;

Х1(τ) = l = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ2/2 + VA·τ.

Эта система уравнений содержит неизвестные τ и VB. Поскольку число уравнений равно числу неизвестных величин, то такую систему уравнений решают стандартными приёмами и определяют VB и τ. После определения VB и τ рассматривают движение материальной точки на участке ВС её траектории в системе отсчёта ВХY (см. рис. 1.15).

Если последнюю систему уравнений решить нельзя (число неизвестных превышает число уравнений равновесия), то так же переходят к рассмотрению движения точки на участке ВС в системе отсчёта ВXY.

8. Рассмотрим движение точки на участке ВС в заданной системе отсчёта ВXY.

9. Изобразим точку на траектории её движения в произвольный момент времени (рис. 1.17).