Теоретическая механика (стр. 53 )

 

Решение.

Заменим равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загруженного участка рис. 6.20). Модуль этой силы определим по формуле Q = q·2 = 1·2 = 2 кН.

Поскольку связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, то для решения поставленной задачи правомерно применение принципа возможных перемещений.

Найдем горизонтальную составляющую ХА реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОХ, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию ХА. В результате этих действий реакция ХА переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (см. рис. 6.19) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δSA точке А Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δSA = δSP1 = δSQ = δSC,

где δSP1 – возможное перемещение точки приложения силы Р1; δSQ – возможное перемещение точки приложения силы Q; δSC – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка получит возможное перемещение δSВ, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 параллельны, то тело 2 совершает поступательное движение. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δSC = δSВ = δSР2,

где δSР2 – возможное перемещение точки приложения силы Р2.

Таким образом, возможные перемещения всех точек тел 1 и 2 геометрически равны:

δSA = δSP1 = δSQ = δSC = δSВ = δSР2.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемого случая.

ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0 = – XA·δSA + P1·δSP1 – P2·cos(45о)·δSР2 = 0. (1)

Поскольку δSA = δSP1 = δSР2, то выражение (1) можно записать в следующем виде:

– XA·δSA + P1·δSА – P2·cos(45о)·δSА = 0.

Решая последнее выражение относительно ХА, получим

XA = P1 – P2·cos(45о) = 2 – 4·0,707 = – 0,828 кН.

Найдем вертикальную составляющую YА реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию YА. В результате этих действий реакция YА переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.21) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

 

Зададим возможное перемещение δSA точке А Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δSA = δSP1 = δSQ = δSC,

где δSP1 – возможное перемещение точки приложения силы Р1; δSQ – возможное перемещение точки приложения силы Q; δSC – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δSВ, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке В. Относительно оси, проходящей через точку В и перпендикулярной плоскости рис. 6.21, тело 2 повернётся на угол δφ2. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δSC = CB·δφ2 = 3·δφ2.

Следует заметить, что возможные перемещения δSC, δSP2 точки С и точки приложения силы Р2 перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

Принцип возможных перемещений выражается формулой

∑Fi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р2 и возможным перемещением δSP2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который расположен в точке В. С этой целью силу Р2 разложим на составляющие силы: P2·sin(45о) и P2·cos(45о).

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений:

– YA·δSA + Q·δSQ + P2·sin(45о)·1,5·δφ2 +

+ P2·cos(45о)·3·δφ2 – M·δφ2 = 0. (2)

Так как δSA = δSQ = 3·δφ2, то выражение (2) можно преобразовать к следующему виду:

– YA·3·δφ2 + Q·3·δφ2 + P2·sin(45о)·1,5·δφ2 +

+ P2·cos(45о)·3·δφ2 – M·δφ2 = 0.

Решая последнее выражение относительно YA, получим

YA = Q 1+ P2·sin(45о)·0,5 + P2·cos(45о)·1 – M/3 =

= 2 1 + 4·0,707·0,5 + 4·0,707·1 – 6/3 = 4,242 кН.

Найдём реактивный момент МА в жёсткой заделке.

Жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на поворот тела 1 в плоскости ОХY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реактивный момент МА. В результате этих действий реакция МА переходит в разряд активных нагрузок, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.22) заменяется шарнирно-неподвижной опорой. При такой замене составная конструкция становится подвижной. Тело 1 может совершать вращательное движение относительно оси, проходящей через точку А. Зададим телу 1 возможное угловое перемещение δφ1. Тогда точки приложения активных сил Р1, Q и точка С получат возможные перемещения δSP1, δSQ, δSC.

δSP1 = 1,5·δφ1; δSQ = ()·δφ1; δSC = CA·δφ1.

Следует отметить, что возможное перемещение δSC перпендикулярно отрезку, соединяющему точку С с осью вращения тела 1, проходящей через точку А.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δSВ, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке С2. Относительно оси, проходящей через точку С2 и перпендикулярную плоскости рис. 6.22, тело 2 повернётся на угол δφ2. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δSC = CС2·δφ2.

Так как точка С принадлежит и телу 1, и телу 2, то справедливо равенство

δSC = CA·δφ1 = CС2·δφ2.

Из рис. 6.22 нетрудно установить, что СА = СС2. Отсюда имеем

δφ1 = δφ2.

Возможные перемещения δSC, δSР2 точки С и точки приложения силы Р2 перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

В общем случае принцип возможных перемещений выражается формулой

∑Fi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р2 и возможным перемещением δSP2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который находится в точке С2. Как и ранее (см. рис. 6.21), силу Р2 разложим на составляющие силы: P2·sin(45о) и P2·cos(45о), параллельные координатным осям.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений.

– MA·δφ1 + P1·1,5·δφ1 – Q·1·δφ1 –

– P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·6·δφ2 + M·δφ2 = 0. (3)

Поскольку δφ1 = δφ2, то выражение (3) можно преобразовать к виду

– MA·δφ1 + P1·1,5·δφ1 – Q·1·δφ1 –

– P2·sin(45о)·1,5·δφ1 – P2·cos(45о)·6·δφ1 + M·δφ1 = 0.

Решая это уравнение относительно МА, получим

MA = + P1·1,5 – Q·1 – P2·sin(45о)·1,5 – P2·cos(45о)·6 + M =

= 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·1,5 – 4·0,707·6 + 6 = – 14,210 кН·м.

Определим реакцию RB.

Шарнирно-подвижная опора в точке В накладывает только одно ограничение на перемещение тела 2 в пространстве. Снимем это ограничение на поступательное движение тела, параллельное оси ОY, и покажем на рис. 6.23 реакцию RB. Так как тело 1 неподвижно, то возможным перемещением тела 2 является его поворот относительно оси, проходящей через точку С на угол δφ2.