Теоретическая механика (стр. 54 )

На рис. 6.23 показаны возможные перемещения δSВ, δSР2 точек приложения сил RB и Р2.

Составим уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, при этом учтём, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно мгновенного центра поворота на угол поворота тела.

P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·3·δφ2 + M·δφ2 – RB·δSB = 0. (4)

Так как δSB = 3·δφ2, то выражение (4) приводится к виду

P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·3·δφ2 + M·δφ2 – RB·3·δφ2 = 0.

 

Решая последнее выражение относительно RB, получим

RB = P2·sin(45о)·0,5 – P2·cos(45о)·1 + M/3 =

= 4·0,707·0,5 – 4·0,707·1 + 6/3 = 0,586 кН.

Проведём проверку полученных результатов расчёта. Для этого рассмотрим равновесие составной конструкции под действием активных нагрузок Р1; Р2, М, Q и реакций внешних связей XA, YA, MA, RB (рис. 6.24).

Запишем уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил и подставим в них определённые значения реакций внешних связей.

Σ+ Σ= 0 = XA – P1 + P2·cos(45о) =

= – 0,828 – 2 + 4·0,707 = – 2,828 + 2,828 = 0;

Σ+ Σ = 0 = YA – P2·sin(45о) + RB =

= 4,242 – 2 – 4·+ 0,586 = 4,828 – 4,828 = 0;

ΣМА() + ΣМА() = 0 =

= – MA + P1·1,5 – Q·1 – P2·sin(45о)·4,5 – M + RB·6 =

= – (–14,210) + 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·4,5 – 6 + 0,586·6 =

= 20,728 – 20,728 = 0.

Проверка подтвердила правильность расчётов.

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

1.   Сформулировать определение понятия «обобщённые координаты механической системы».

2.   Что изучает аналитическая механика?

3.   Сформулировать определение понятия «возможные перемещения несвободной механической системы».

4.   Сформулировать определение понятия «связи».

5.   Сформулировать определение понятия «геометрические связи».

6.   Сформулировать определение понятия «стационарные связи».

7.   Сформулировать определение понятия «уравнения связей».

8.   Сформулировать определение понятия «дифференциальные связи».

9.   Сформулировать определение понятия «голономные связи».

10.   Сформулировать определение понятия «неголономные связи».

11.   Сформулировать определение понятия «нестационарные связи».

12.   Сформулировать определение понятия «двусторонние (удерживающие) связи».

13.   Сформулировать определение понятия «односторонние (неудерживающие) связи».

14.   Сформулировать определение понятия «голономная система».

15.   Сформулировать определение понятия «неголономная система».

16.   Сформулировать определение понятия «возможное перемещение системы».

17.   Сформулировать определение понятия «возможная (элементарная) работа силы».

18.   Записать формулу для определения возможной работы силы.

19.   Записать формулу для определения возможной работы сил, приложенных к механической системе.

20.   Сформулировать определение понятия «идеальные связи».

21.   Сформулировать принцип возможных перемещений.

22.   Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в векторной форме.

23.   Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в координатной форме.

24.   Записать формулу, выражающую принцип возможных скоростей (принцип возможных мощностей).

 

6.4. Общее уравнение динамики

 

6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы

 

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики, если его дополнить принципом Даламбера.

Рассмотрим движение несвободной неизменяемой механической системы, на которую наложены идеальные связи, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 6.25).

Согласно принципу Даламбера i-я точка механической системы совершает движение под действием активной силы , реакции внешней связи, реакции  внутренней связи и силы инерции Фi. Этот принцип выражается формулой

+  +  + Фi = 0.

 

Пусть точка Сi механической системы получит возможное перемещение δSСi. Очевидно, что элементарная работа δА сил, приложенных к точке, равна нулю.

δА = (+ +  + Фi)·δSСi = 0.

Просуммируем последние выражения и получим

Σ·δSСi +Σ·δSСi + Σ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0.

Для движущейся механической системы сумма работ активных сил, реакций внешних связей, внутренних сил и сил инерции, приложенных к её точкам, на любых возможных перемещениях этой системы равна нулю.

Поскольку на механическую систему наложены идеальные связи, то сумма работ реакций этих связей равна нулю.

Σ·δSСi = 0.

Так как рассматривается неизменяемая механическая система, то сумма работ реакций внутренних связей также равна нулю.

Σ·δSСi = 0.

Исходя из того, что Σ·δSСi = 0 и Σ·δSСi = 0, получим

Σ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0.

Последнее уравнение называют общим уравнением динамики.

 

В любой момент времени работа активных сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с идеальными связями на её любом возможном перемещении равна нулю.

Общее уравнение динамики (Σ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0) можно преобразовать к следующим видам:

Σ( + Фi)·δSСi = 0;

Σ·δSСi·cos(, δSСi) + ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSСi) = 0;

Σ(·δSiОХ + ·δSiOY + ·δSiOZ) +

+ Σ(ФiOX·δSiOX + ФiOY·δSiOY + ФiOZ·δSiOZ) = 0;

Σ(·δSiOX + ·δSiOY + ·δSiOZ) +

+ Σ(– m··δSiOX – m··δSiOY – m··δSiOZ) = 0,