Теоретическая механика (стр. 14 )

Из предыдущего материала, изложенного в данном разделе учебно-методического пособия, известно:

Rc = – α·V; Fyn = c·Δ; Q = H·sin(p·t + δ).

С учётом этого дифференциальное уравнение горизонтального движения точки описывается равенством

m·= Σ + Σ = H·sin(p·t + δ) – α· – c·Y.

Перенеся члены α·, c·Y в левую часть равенства и разделив обе его части на массу m, получим

 + (α/m)· + (c/m)·Y = (H/m)·sin(p·t + δ),

где c/m = k2 – квадрат циклической частоты свободных колебаний; α/2m = n – коэффициент затухания; H/m = h – отношение амплитуды возмущающей силы к массе точки.

При этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

 + 2n· + k2·Y = h·sin(p·t + δ).

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.

Общее решение этого уравнения состоит из общего решения Y* дифференциального уравнения  + 2n· + k2·Y = 0 и частного решения Y**.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения  + 2n· + k2·Y = h·sin(p·t + δ) имеет вид Y = Y*+ Y**.

Частное решение Y** выражается формулой

Y** = Ac·sin(p·t + δ – ε),

где Ас, ε – постоянные величины, не зависящие от начальных условий движения точки.

Эти постоянные называют: Ас – амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению; ε – сдвиг фазы.

Значения Ас и ε определяют по следующей совокупности формул:

Ac = h/(); tg(ε) = 2·n·p/(k2 – p2);

sin(ε) = 2·n·p·Ac/h; cos(ε) = Ac·(k2 – p2)/h.

Общее решение дифференциального уравнения  + 2n· + k2·Y = h·sin(p·t + δ)) в зависимости от соотношения величин k и n имеет вид:

при n < k Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β) + Ac·sin(p·t + δ – ε);

при n = k Y = (e-nt)·(C1·t + C2) + Ac·sin(p·t + δ – ε);

при n > k Y = (e-nt)·(C1·)·t + C2·)·t) +

+ Ac·sin(p·t + δ – ε),

где α, β, С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения точки.

На рис. 2.16 приведены графики зависимостей: Y* = f1(t); Y** = f2(t); Y = f3(t) для случая, когда n < k; p > k, и начальных условий Y0 > 0,  > 0.

На рис. 2.17 приведены графики зависимостей Y* = f1(t), Y** = f2(t), Y = f3(t) для случая, когда n = k; p > k, и начальных условий Y0 > 0;  >0.

 

Таким образом, графики зависимостей Y = f3(t) на рис. 2.16, 2.17 при p > k представляют собой наложение высокочастотных вынужденных колебаний Y** = f2(t) соответственно на затухающие колебания (см. рис. 2.16) или апериодическое движение (см. рис. 2.17).

 

2.8. Алгоритм решения задач на колебания

материальной точки

 

Алгоритм решения задач динамики несвободной материальной точки при её колебательном движении содержит следующие действия.

1.         В механической системе выделяют материальную точку, движение которой рассматривают.

2.         Выбирают инерциальную систему отсчёта, начало которой помещают в положение статического равновесия материальной точки.

3.         В выбранной системе отсчёта точку изображают в произвольный момент времени таким образом, чтобы она имела положительную координату и двигалась в сторону её увеличения ускоренно.

4.         По исходным данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения: Y0; .

5.         К точке прикладывают активные (задаваемые) силы FiE.

6.         Согласно аксиоме связей эти связи отбрасывают и действие их заменяют соответствующими реакциями RiE связей.

ПРИМЕЧАНИЕ.

Если точка движется не по горизонтали, то рассматривают равновесие материальной точки. Из условия равновесия (ΣFiE + ΣRiE = 0) определяют деформацию пружины при действии на неё постоянной системы активных сил FiЕ.

7. Записывают дифференциальные уравнения движения точки, приводят их к стандартному виду и записывают решения:

а)  + k2·Y = 0; Y = A·sin(k·t + β) – свободные колебания;

б)  + 2n· + k2·Y = 0;

если n < k, то Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β) – затухающие колебания;

если n = k, то Y = (e-nt)·(C1·t + C2) – апериодическое движение;

если n > k, то Y = (e-nt)·(C1·)·t + C2·)·t) –

– апериодическое движение;

в) + k2·Y = h·sin(p·t + δ);

если р < k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ);

если р > k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π) –

– вынужденные колебания соответственно малой и

большой частоты под действием

восстанавливающей и возмущающей сил;

г)  + 2n· + k2·Y = h·sin(p·t + δ);

если n < k, то Y = a ·(e-nt)·sin(k*·t + β) + Ac·sin(p·t + δ – ε);

если n = k, то Y = (e-nt)·(C1·t + C2) + Ac·sin(p·t + δ – ε);

 

если n > k, то

Y = (e-nt)·(C1·)·t + C2·)·t) + Ac·sin(p·t + δ –ε).

8. По начальным условиям движения точки определяют постоянные интегрирования по формулам, приведённым в разделе 2 данного учебно-методического пособия.

9. Полученное решение Y = f(t) иллюстрируется соответствующими графиками.

 

2.9. Пример решения задачи на свободные колебания

груза по гладкой наклонной поверхности

 

Условие задачи.

Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкосновения груза с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружины не отделяется (рис. 2.18).

 

Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30о) расстояние S = 0,1 м, груз D (m = 4 кг) ударяется о недеформированные последовательно соединённые пружины, имеющие коэффициенты жёсткости с1 = 48 Н/см и с2 = 24 Н/см.

Движение груза отнести к оси ОХ, наклоненной к горизонтальной поверхности под углом α, приняв за начало отсчёта положение покоя груза (при статической деформации пружин).

 

Решение.

Так как груз будет совершать поступательное движение, то его можно рассматривать как материальную точку, совершающую колебания в заданной системе отсчёта ОХ, начало которой находится в положении статического равновесия груза (рис. 2.19).

На рис. 2.19 использованы следующие условные обозначения: l0 – длина недеформированной пружины с эквивалентной жёсткостью «с»; fst – деформация пружины в положении статического равновесия материальной точки; G – сила тяжести; N – нормальная реакция гладкой поверхности; Fynst – сила упругости пружины в положении статического равновесия материальной точки; X0 – начальная координата точки; V0 – начальная скорость точки; X = f(t) – текущее значение координаты точки; V, a – текущие значения скорости и ускорения точки; Fyn – текущее значение силы упругости эквивалентной пружины; Δ – текущее значение деформации эквивалентной пружины.