Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 14 )

2.1. Статистика Максвелла-Больцмана.

Функция распределения молекул по скоростям

Кинетическая теория газов дает возможность вычислять практически все необходимые в инженерной практике величины. Для равновесных состояний это - соотношения между равновесными свойствами: между давлением, температурой, концентрацией и объемом определенного количества газовой смеси. Для неравновесных свойств это - коэффициенты переноса, подстановка которых в соответствующие конститутивные соотношения дает возможность находить потоки и поля макропараметров.

Для описания процессов переноса используются функции распределения, в которых частицы считаются различимыми, т. е. функции распределения невырожденного газа /4,128/. В связи с тем, что такие функции распределения (плотности вероятностей) ввели Дж. Максвелл и Л. Больцман, такую классическую статистику можно назвать статистикой Максвелла-Больцмана.

Чтобы с помощью этой функции получать наблюдаемые физические величины, ее необходимо нормировать так, чтобы моменты от нее давали локально равновесные макропараметры и потоки. Для этого в локально-равновесную функцию в качестве параметров должны входить локально равновесные макропараметры: давление или числовая плотность молекул, температура и скорость движения газа. Отклонения от равновесия в неравновесной функции отражаются членами, содержащими градиенты макропараметров, как количественные характеристики неоднородностей.

Формулировка условий нормировки для функции распределения молекул по скоростям основывается на соотношениях, которые получаются при элементарной молекулярно-кинетической интерпретации наблюдаемых соотношений. Так, для введения температуры в функцию распределения используется основная формула кинетической теории газов, в которой на основе микроскопической интерпретации давления, средняя энергия теплового движения молекул газа связывается с температурой. Ввиду важности этого момента в разделе 1.1.1. приведен вывод основной формулы кинетической теории (1.19) .

Особенности поведения газов содержатся в функциях распределения молекул по скоростям. Чтобы найти эти функции для каждого компонента смеси необходимо решить систему кинетических уравнений для них. В настоящее время функции распределения неоднородных газов находятся из уравнений Больцмана, причем развитые методы /3-6/ дают возможность получать неравновесные функции только при условии слабых неоднородностей, когда главной частью является локально-равновесная максвелловская функция для каждого газа. В рамках строгой кинетической теории локально-равновесная функция для однородного стационарного состояния находится из общего уравнения переноса, которое получается из уравнения Больцмана /6/. Но в свое время Дж. Максвелл получил функцию распределения молекул по скоростям в условиях абсолютного равновесия (так называемый абсолютный максвеллиан) до того, как Л. Больцман написал свое кинетическое уравнение. В учебных пособиях обычно приводится подобный вывод равновесной функции, но при этом обычно запись ее ограничивается случаем абсолютного равновесия, что не позволяет использовать ее при рассмотрении неоднородных газов.

В настоящей книге приводится локально-равновесная функция, и обсуждаются ее отличия от абсолютно-равновесной (от абсолютного максвеллиана). Очень коротко можно сказать, что равновесная функция распределения молекул по скоростям представляет собой распределение Гаусса в пространстве скоростей. Ниже кратко приведен вывод, аналогичный тому, что приводится в учебнике /22/, при этом устранены типографские неточности, которые появились в указанном учебнике.

2.1.1. Функция распределения молекул по скоростям

в условиях абсолютного равновесия

В условиях абсолютного равновесия, когда макропараметры остаются неизменными и одинаковыми во всех точках системы, молекулы газа участвуют только в тепловом хаотическом движении, и распределение их по этим скоростям описывается максвелловской функцией распределения – абсолютным максвеллианом. Ниже это распределение будет получено как распределение Гаусса в пространстве скоростей.

Огромное количество столкновений, которые происходят между молекулами в газах при обычных условиях, позволяют считать, что скорость молекулы, с которой столкнется выбранная молекула, является случайной величиной. В связи с этим, случайный характер будет носить и скорость выбранной молекулы после каждого столкновения. В равновесии нет никакого выбранного преимущественного направления движения, поэтому каждая составляющая скорости выбранной молекулы также изменяется в столкновениях случайным образом, т. е. хаотически. Это приводит к установлению некоторого равновесного распределения молекул по скоростям. Здесь предполагается, что полевые молекулы, с которыми столкнётся пробная, уже имеют хаотическое распределение по скоростям. Хаотический характер распределения позволяет представить каждую составляющую скорости молекулы в виде суммы приращений в каждом отдельном столкновении:

  ,    .                (2.1)

Из сказанного следует, что проекции скорости молекулы не зависят друг от друга и распределены по закону Гаусса:

,  ,  .  (2.2)

Вероятность того, что проекция  vx находится в интервале от  vx  до  vx + dvx, дается выражением:

,                        (2.3)

где - обозначена вероятность как функция составляющей скорости молекулы.

Аналогичная формула записывается и для других составляющих скорости. Вероятность того, что скорость v находится в интервале от v до  v+dv, находится по правилу подсчета вероятности трех независимых событий, т. е. как произведение вероятностей отдельных событий:

.                        (2.4)

Условие нормировки для записанной вероятности,

       (2.5)

вместе с аналогичным условием для средней энергии хаотического движения молекул

                                                               (2.6)

дают возможность установить значение входящих в эти выражения постоянных и . При выполнении интегрирования удобно перейти к интегрированию по модулю скорости и заменить произведение трех элементарных объемов в пространстве скоростей на элементарный объем в сферических координатах:

.                                        (2.7)

После интегрирования и исключения постоянных и с помощью нормировок, получим выражение для элементарной вероятности,                                        

,                 (2.8)

которую можно записать через вероятность, приходящуюся на единицу элементарного объема в пространстве скоростей (через плотность вероятности ):

.                                                        (2.9)

Плотность вероятности называется максвелловской функцией распределения молекул по скоростям или абсолютным максвеллианом, что и отражено особым обозначением. Она имеет вид:

  ,                        (2.10)

где - масса одной молекулы,

T - температура газа,

- модуль скорости молекул,

- постоянная Больцмана.

Видно, что температура, которая вошла в эту функцию через соотношение (2.6), служит модулем этого распределения. Характер зависимости распределения от температуры наглядно представлен на Рис. 2.1..

Рис. 2.1. График максвелловской функции распределения молекул по скоростям при различных температурах.