Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 17 )

Подставляя это в (2.28) и переходя к тепловым скоростям,

;                         ,                        (2.30 )

получим:

.                (2.31)

Интегрирование удобно проводить в переменных относительной скорости и скорости центра масс сталкивающихся частиц . Для перехода запишем соотношения для этих переменных:

;                        (2.32)

.                                        (2.33)

Их решение дает переход к новым переменным:

;                                        (2.34)

;                                        (2.35)

.                                        (2.36)

В инерциальной системе отсчета, связанной с неподвижным газом справедливы соотношения:

;                         ;                

,                (2.37)

так как якобиан преобразований равен 1.

Переход в (2.31) к новым переменным дает:

                                                               

.        (2.38)

Интегрирование этого выражения дает:

.                        (2.39)

Средняя частота столкновений молекул находится так:

.                                        (2.40)

Через эту величину вводится среднее время свободного пролета молекул в s - компонентной смеси:

.                                                        (2.41)

Средняя максвелловская длина свободного пробега молекул в s-компонентной смеси вводится как произведение среднего времени свободного пролета на среднюю арифметическую скорость молекул:

.                                (2.42)

Таким образом, средняя максвелловская длина свободного пробега молекул компонента под номером в s-компонентной смеси для потенциала твердых сфер определяется следующей формулой:

.                                (2.43)

В частности, для разреженного однокомпонентного газа в отсутствии корреляций между состояниями молекул, при , эта формула переходит в известную формулу для средней длины свободного пробега:

.                                                        (2.44)

Интересно отметить то, что при выводе этой формулы в учебниках, возникает трудность с объяснением записи . Чтобы прояснить физический механизм, приводящий к его появлению, полезно проанализировать приведенные выше преобразования.

Длина свободного пробега молекул используется для определения режима течения газов. Для этого вводится число Кнудсена

,                                                                        (2.45)

где - характерный размер течения (например, для шара или трубы круглого сечения это – диаметр).

При - кнудсеновский режим, где газ ведет себя как ультраразрежённый, в котором определяющую роль играют движения отдельных молекул.

При - нормальная гидродинамическая область, где движение газа описывается уравнениями механики сплошной среды.

Для описания некоторых тонких особенностей движения газов вводятся подрежимы, такие как переходная область от одного режима в другой. Такой режим течений () - переходная область – наиболее трудна для описания, так как в ней ни один из механизмов не играет подавляющей роли. Видно, что как характерный размер течения, так и средняя длина свободного пробега в смесях нельзя установить с большой точностью, режимы течений только оцениваются.

2.1.5.Эффузия кнудсеновского газа и закон Грэхема

Эффузия – это процесс истечения газов через отверстия, размеры которых малы по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул, т. е. когда числа Кнудсена больше единицы. Такое явление может наблюдаться при малых давлениях, когда отверстия имеют характерные размеры порядка нескольких миллиметров, а газ находится при малом давлении, т. е. является ультраразрежённым. Числа Кнудсена могут быть большими и при нормальном давлении, если размеры отверстий очень малы. Например, если два сосуда соединены пористой таблеткой, то проникновение газа из одного сосуда в другой будет происходить за счет эффузии.

Общность процессов в кнудсеновском газе связана с тем, что в процессе перехода из одной области в другую молекулы не сталкиваются между собой, а сталкиваются только с ограничивающими стенками. Для кинетического описания таких процессов можно считать, что в каждой из областей существует свое локальное равновесие, а переходы из одной области в другую этого равновесия не нарушают. В такой модели эффузию можно описать, используя локально-максвелловские функции распределения.

Чтобы получить формулы для потока эффузии, рассмотрим два сосуда a и  b, которые соединены малым отверстием, а условия, при которых смесь газов заполняет эти сосуды, соответствуют кнудсеновскому режиму течения, т. е. средняя длина свободного пробега молекул больше размера отверстия. Схематически такой случай изображен на Рис. 2.6.

Рис. 2.6. Схема устройства для исследования эффузии и термотранспирации

Поток молекул через отверстие находится как разность их числа, которые пересекают в единицу времени в двух встречных направлениях по оси oz :

                (2.46)

где верхними индексами a или  b снабжены макропараметры в соответствующих сосудах, а пределы интегрирования отражают то, что поток направлен только по оси oz.

Подставляя локально-равновесные функции с макропараметрами, соответствующими условиям в сосудах a и  b соответственно, получим: