Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 25 )

Таким образом, в гидродинамическом приближении левая часть кинетического уравнения для компонента под номером записывается в виде:

,        (4.18)

Правая часть кинетического уравнения, которое записывается в виде (3.8) - (3.10) получается подстановкой в него неравновесной функции распределения (4.2). Учитывая, что

,                                                        (4.19)

правая часть (3.8) через функции возмущения запишется так:

;                        (4.20)

.                                                        (4.21)

Подставляя в эти выражения функцию возмущения в виде (4.6), получим

.        (4.22)

Левая часть и правая часть содержат члены, в которых тензоры нулевого ранга получены путем соответствующего свернутого произведения тензоров первого ранга и второго ранга. С учётом физических соображений это обстоятельство позволяет получить три уравнения для соответствующих времен свободного пролета путем приравнивания членов при одинаковых градиентах в левой и правой частях.

Проделав такую процедуру, получим интегральное уравнение для диффузионного времени свободного пролета молекул компонента α  в s - компонентной смеси:

,  (4.23)

где учтено, что в удерживаемом приближении

.                                                        (4.24)

Искомой величиной в этом уравнении является диффузионное время свободного пролета молекул компонента α как функция скорости хаотического движения молекул .

Аналогично получается интегральное уравнение для термического времени свободного пролета , как функция модуля скорости теплового движения молекул . Это уравнение будет содержать и диффузионное время свободного пролета:

                                                                                                               (4.25)

 

Интегральное уравнение для вязкостного времени свободного пролета  ω(v) будет иметь вид:

,(4.26)

.

Видно, что полученные интегральные уравнения похожи на аналогичные уравнения метода Чепмена-Энскога /3-5/. Эти уравнения тоже являются неоднородными уравнениями Фредгольма второго рода, но они отличаются от уравнений Чепмена-Каулинга /3/ тем, что соответствующие им однородные уравнения не имеют нетривиальных решений. Это обусловлено тем, что искомые функции – времена свободного пролета – имеют определенный физический смысл. Из него следует, что правая часть полученных уравнений может обращаться в нуль только в том случае, когда времена пролета и скорости после столкновения не отличаются от этих величин до столкновения , что не имеет физического смысла. Такое свойство соответствующих однородных уравнений (с нулевой правой частью) согласно альтернативе Фредгольма допускает единственные решения (4.24)-(4.26). Найденные зависимости времен свободного пролета от скоростей молекул дадут возможность не только получить формулы для коэффициентов переноса как функционалов, но и использовать эти зависимости для определения дистрибутивных подвижностей, характеризующих вклады в потоки молекулами, принадлежащими различным скоростным группам.

В строгой кинетической теории широко используются ортогональные полиномы. В методе Чепмена-Энскога решение интегральных уравнений ищется в виде разложения по полиномам Сонина-Лагерра /3-5, 8,9/:

.                                        (4.27)

Применительно к решению интегральных уравнений (4.23), (4.25), (4.26), аргументом полиномов будет квадрат безразмерной скорости. Удобство таких полиномов связано с их ортогональностью. Нулевые полиномы всех видов равны единице, , поэтому в этом приближении решениями интегральных уравнений будут не зависящие от скорости времена свободного пролета. Даже в этом случае выкладки очень громоздки, а полученные при этом формулы для коэффициентов переноса, которые принято считать первым приближением, достаточно хорошо согласуются с экспериментом. В связи с этим на практике расчеты обычно проводятся по формулам первого приближения. Более того, только такие расчеты и оправданы. Это связано со спецификой ортогональных полиномов, которая в данном случае приводит к следующим особенностям.

При решении интегрального уравнения во всех приближениях левая часть его остается неизменной, в то время как в более высоком приближении в правой части появляются новые члены разложения. В конечных формулах для коэффициентов переноса через правую часть, в которой необходимо учитывать межмолекулярные взаимодействия, будут входить параметры потенциала этого взаимодействия. Обычно формулы представляются через диаметр твердых сфер и безразмерный звездочный интеграл столкновений /4,5/. Эти параметры потенциалов находятся по измеренным коэффициентам переноса.

В высших приближениях появляются поправки к первому. Но в настоящее время параметры потенциалов найдены по формулам первого приближения, поэтому их нельзя использовать в высших приближениях. Подстановка параметров потенциалов первого приближения в формулы в высших приближениях даст отклонения расчетов от тех экспериментальных данных, по которым в свое время были получены параметры потенциалов /48/.

Учитывая это, в работах /40,49,50/ развивается эвристический метод решения интегральных уравнений, в которых не вводятся формулы для коэффициентов переноса в различных приближениях, так все особенности отражаются в одном. Этот метод будет изложен в следующих разделах, а расчеты по полученным формулам будут приведены в следующих главах.

4.2. Решение уравнения для диффузионного времени свободного пролета молекул методом разложения по ортогональным полиномам

В предыдущем разделе было получено интегральное уравнение для диффузионного времени свободного пролета молекул компонента α  в s - компонентной смеси (4.23):

.

Искомой величиной в этом уравнении является диффузионное время свободного пролета , которое принято называть диффузионным, так как через него в конечном итоге будет выражаться коэффициент диффузии. Для решения этого уравнения можно применить метод, разработанный в строгой теории Чепмена-Энскога /3-5/, основанный на разложении искомой функции по ортогональным полиномам (4.27).

Будем искать решение в виде разложения:

,                                (4.28)

где – пробная функция в соответствующем приближении.

Из-за громоздкости выражений практически достижимы разложения с малым количеством полиномов. Для примера, приведем три первых полинома:

  ;  ;

.                                (4.29)