Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 26 )

Как уже отмечалось, оправдано сначала искать решение в первом приближении, когда используется только нулевой полином. При этом можно хорошо продемонстрировать основные приемы теории, которые в высших приближениях завуалированы громоздкими преобразованиями.

В нулевом приближении в (4.28) и

.                                                (4.30)

Подставляя это в интегральное уравнение (4.23), получим:

.        (4.31)

Стандартный способ решения подобных уравнений состоит в умножении на скорость скалярно и интегрировании в пространстве скоростей тестовых частиц:

.(4.32)

Правая часть этого уравнения содержит сведения о характере взаимодействия частиц, так как оно определяет отличие скорости частицы после столкновения от скорости её до столкновения   с любой частицей .

Интегрирование левой части не представляет труда, а для нахождения явного вида правой части разработан специальный метод, в котором используются так называемые интегральные скобки, простейшая из которых используется здесь /3-4/:

.

(4.33)

Через эту скобку уравнение (4.32) для запишется так:

.                                        (4.34)

Таким образом, искомое выражается через интегральные скобки, для нахождения которых разработаны общие приемы /3-5/. Простота используемой здесь скобки позволяет выразить её через интегралы столкновений, в которых сконцентрированы все сведения о межмолекулярных взаимодействиях. Для этого в (4.33) используем локально-равновесные функции распределения (2.16) и перейдем от переменных к безразмерной скорости центра масс и безразмерной относительной скорости с помощью следующих соотношений:

;                                (4.35)

  ;

  ;

.

В новых переменных интегральная скобка (4.33) запишется так:

.                (4.36)

Учитывая, что интегрирование производится по независимым переменным и используя соотношения

;

,                                                (4.37)

получим:

.                (4.38)

Вводя интеграл столкновений /3-5/:

,                (4.39)

и выражая через него интегральную скобку, получим:

.                                                (4.40)

Из (4.34) получим следующую формулу для времени свободного пролета в первом приближении:

.                                        (4.41)

Как видно из определения (4.39), взаимодействия молекул в конечном итоге выражаются через угол отклонения относительной скорости при столкновении , и первый верхний индекс у интеграла столкновений отражает степень косинуса от этого угла. Для каждого взаимодействия такой интеграл свой, и чтобы получить формулу с некоторыми универсальными величинами, вводится так называемый безразмерный звездочный интеграл столкновений . Это сделано /3-5/ путем выбора в качестве масштаба интеграл столкновений для модели твердых сфер, для которой все интегралы берутся аналитически. В общем случае безразмерный звездочный интеграл вводится так:

;                                                (4.42)

,

- интеграл столкновений для потенциала твердых сфер, который выражается через диаметр твердых сфер . Как уже отмечалось, кроме удобств это привело и к путанице, связанной с тем, что такой же буквой обозначен параметр потенциала Леннарда-Джонса, что и дало кажущуюся возможность определять его из данных о коэффициентах переноса. Использование безразмерного звездочного интеграла столкновений удобно особенно, если учесть, что именно для него переведены таблицы для потенциала Леннарда-Джонса /4/.

Таким образом, для диффузионного времени свободного пролета молекул компонента в s - компонентной смеси в первом приближении получается следующая формула:

.        (4.43)

Для получения аналогичной формулы в третьем приближении, в разложении (4.28) примем =3. Подставляя в интегральное уравнение для  (4.23) разложение (4.28) и умножая левую и правую части последовательно на , получим систему алгебраических уравнений для пробных функций третьего приближения :

,                                                (4.44)

где

.                (4.45)

Решение этой системы представляется в виде:

.                                        (4.46)

В третьем приближении

.                                        (4.47)

Через интегральные скобки (4.45) выражаются следующим образом:

;                                                (4.48)