Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 37 )

Последний член в этом выражении равен нулю, так как единица является сумматорным инвариантом /3-5/. Тогда это выражение можно привести к виду:

.                (6.37)

В правой части (6.37) операции дифференцирования по координате и интегрирование по скоростям в первом члене можно переставить местами, поэтому его можно представить в виде дивергенции потока:

.                (6.38)

Второй член в правой части связан со столкновениями молекул, поэтому он его можно интерпретировать как источник для энтропии.

Таким образом, введя обозначения для поверхностной плотности потока энтропии,

                                               (6.39)

и для плотности производства энтропии,

,                                                        (6.40)

выражению (6.37) можно придать стандартный вид балансового соотношения для плотности энтропии:

.                                         (6.41)

Вывод этого соотношения показывает, что в соответствии с общим выводом балансового соотношения (1.28), (1.38), дивергенция потока энтропии отражает взаимодействие с окружением, а член, содержащий интеграл столкновений – внутренние процессы в рассматриваемом домене.

Чтобы получить формулу кинетической теории для производства энтропии, подставим в (6.40) неравновесную функцию распределения:

                                               

.        (6.42)

Учитывая, что при интегрировании членов, содержащих произведение из оператора столкновений и сумматорных инвариантов, получается ноль, выражение для производства энтропии запишется так:

.                                        (6.43)

При слабых неоднородностях , поэтому . В этом случае последнее выражение упрощается,

                                                (6.44)

Как уже отмечалось, приведенные ранее выражения одинаково применимы как к простому газу, так и к каждому компоненту смеси. Чтобы получить общее выражение для производства энтропии с учетом диффузии в смесях, в выражение для производства парциальной энтропии подставим оператор столкновений для данного компонента смеси. В результате получим:

.        (6.45)

Этот же результат получается и из общего уравнения переноса Энскога, подставляя в него в качестве функции скорости натуральный логарифм от безразмерной функции распределения, φα=lnFα , выделяя локально-равновесную часть F0α и функцию возмущения Φα 1,

,                        (6.46)

и используя определение парциальной энтропии. Придав полученному выражению вид балансовое соотношение для плотности парциальной энтропии,

,                                                (6.47)

вновь получим выражение (6.45) для производства парциальной энтропии.

Видно, что в балансовом соотношении левая, потоковая часть кинетического уравнения (3.10), дала локальное изменение объемной плотности парциальной энтропии и дивергенцию потока её , обусловленные взаимодействиями с окружением, а правая чисть кинетического уравнения дало объемную плотность источника энтропии gα (производство парциальной энтропии). Правая часть кинетического уравнения отражает столкновения частиц между собой в пределах домена, поэтому производство энтропии как внутренняя производная по времени связано с этими столкновениями.

Подставляя в (6.45) неравновесные функции распределения тестовых частиц в виде (4.1), (4.2) и учитывая, что произведения локально-равновесных функций до столкновений и после столкновений равны, получим:

.  (6.48)

Из этого выражения видно, что парциальное производство энтропии каждого компонента смеси определяется функцией возмущения. Подставляя в последнее выражение разложение функции возмущения по временам свободного пролета τα , να , ωα в виде (4.6), получим:

,        (6.49)

                                                       (6.50)

,

                                                                                                                                       (6.51)

.

Подставляя в эти соотношения формулы для времен свободного пролета через коэффициенты переноса, полученные в предыдущих главах, получим:

                ,                 (6.52)

,                (6.53)

  ,                         (6.54)

Проделанные операции говорят о том, что из кинетического уравнения можно получить балансовое соотношение для парциальной плотности энтропии Sα - той части плотности энтропии смеси, которая приходится на компонент α. Производство парциальной энтропии, в свою очередь, слагается из вкладов, которые вносят в неё отдельные процессы:

.                                        (6.55)

Производство энтропии всей смеси находится простым суммированием парциальных производств энтропии:

.                                                        (6.56)

В главе 3 кинетическое уравнение (3.10) было получено из балансового соотношения (3.2) для частиц выбранного вида, приходящихся на единицу объема в шестимерном гиперпространстве:

.                                        (6.57)

Поэтому после умножения этого уравнения на и интегрирования по скоростям тестовых частиц получим балансовое соотношение для плотности энтропии. Если эту операцию проделать для кинетического уравнения одного компонента смеси, то можно получить балансовое соотношение для парциальной энтропии и для её производства, которые будут совпадать с соответствующими уравнениями, полученными выше.

6.3. Энтропийный анализ диффузии газов

Обычно энтропийный анализ ограничивается тем, что на основе второго начала термодинамики из условия роста энтропии всей системы делается заключение о положительности коэффициентов переноса. Однако, необходимо заметить, что о возрастании энтропии можно говорить только применительно к изолированным системам. Локальное значение энтропии в неоднородных системах в связи с открытостью локально-равновесных доменов может изменяться произвольно. Второе начало термодинамики для открытых систем может однозначно утверждать только о положительности производства энтропии. Формулы (6.49)-(6.77) дают возможность проводить вычисления производства энтропии для неоднородных газов. В настоящем разделе вводятся потоки энтропии в процессах диффузии, что позволяет проводить энтропийный анализ на основе решения уравнения баланса энтропии (6.1) для конкретных процессов. Такой анализ, в частности даст возможность выявить ковариантность диффузионной скорости: в разных системах отсчета локальное и интегральное производство энтропии различное.