Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 28 )

где и – коэффициенты, которые находятся из интегрального уравнения (4.23) для времени свободного пролета .

Для достаточно хорошего согласования с результатом Л. Больцмана /2/ значение коэффициента подобрано как

.                                                                (4.76)

Такое простое решения для одного коэффициента в (4.75) значительно усложняет нахождение второго коэффициента: . Для его нахождения подставим (4.75) в интегральное уравнение (4.23) и произведем интегрирование по скоростям тестовых частиц. В результате получим:

,  (4.77)

где - гамма функция /152/.

Полученная зависимость времени пролета от скорости может быть полезной при решении вопроса о том, какие молекулы вносят больший вклад в поток: те, которые имеют скорость больше средней или меньше. Анализ показывает, что последние вносят в поток больший вклад, т. е. дистрибутивная подвижность медленных молекул больше, чем дистрибутивная подвижность быстрых молекул.

ГЛАВА 5

ПОТОКИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА

В кинетической теории применяется метод последовательных приближений. В нулевом приближении локально-максвелловская функция распределения содержит макропараметры, в первом приближении кроме них добавляются градиенты макропараметров. Предполагается, что могут быть найдены и более высокие приближения. В настоящее время все результаты по процессам переноса получены с использованием первого приближения для функции распределения. Попытки получить более высокие приближения, в частности барнетовское приближение /5-11/, не привели к каким-нибудь интересным результатам.

Как видно из предыдущей главы, метод последовательных приближений применяется и при решении интегральных уравнений для времен свободного пролета, что дает формулы для них в различных приближениях, которые определяются количеством удерживаемых в разложениях по ортогональным полиномам членов. Это дает формулы для коэффициентов переноса в различных приближениях, причем и в этом случае обычно ограничиваются первым приближением.

Полученная в предыдущем разделе неравновесная функция распределения отличается от локально-равновесной функцией возмущения , которая выражается через градиенты макропараметров и времена свободного пролета в выбранном приближении . В локально-равновесную часть входят локально-равновесные макропараметры, которые, вообще говоря, могут быть различными в различных приближениях /55/. Таким образом, для различных приближений неравновесная функция распределения (4.2) записывается так:

,                                (5.1.)

где индексом здесь обозначено удерживаемое в данном рассмотрении приближение для времен свободного пролета, а - номер приближения для функции распределения, которая в дальнейшем будет равна 1, так мы ограничимся только первым приближением для функции распределения.

Функция возмущения как функция скорости (4.6) в рассматриваемом приближении запишется так:

;        (5.2)

,                                                

где времена свободного пролета также снабжены индексом , показывающим номер приближения.

Как это принято в асимптотических методах, в следующих приближениях должны использоваться макропараметры предыдущих приближений, что согласуется с физическим смыслом и существенно используется в методе последовательных локально-равновесных состояний. В данном случае, макропараметры, на которые нормировалась равновесная функция, используются во всех приближениях для неё. Что касается макропараметров, которые являются четными моментами от функции распределения (плотность, температура), то для них это обеспечивается видом функции возмущения (5.2) и выбором соответствующей зависимости времен свободного пролета от скорости. Так, при зависимости времен пролета от скорости в четной степени, это следует из нормировок,

,                (5.3)

.                (5.4)

Причем в последнем выражении используется определение температуры, которое получено в приближении абсолютного равновесия в Главе 1 в виде основной формулы кинетической теории газов (1.19). Как уже отмечалось, без этой формулы в статистическую физику ввести температуру нельзя.

Что касается момента первого порядка – средней скорости, - то в методе последовательных приближений выполнить условие использования макропараметров предыдущего приближения можно по-разному. К настоящему времени известно два способа. Один из них применяется в строгой теории Чепмена-Энскога и в методе Грэда /3-11/, а второй – развивается автором настоящей монографии /55/. Суть первого метода заключается в том, что решение подчиняется дополнительным условиям, без которых метод не осуществим. Эти дополнительные условия в наших обозначениях выражаются так:

,                                 (5.6)

.                                        (5.7)

Условие (5.6), как уже отмечалось, соответствует выбору в качестве характеристической скорости средней массовой скорости смеси /3-11/:

.                                                (5.8)

Причем в каждом приближении она находится по средним скоростям компонентом в этом же приближении, и в то же время, она принимается одинаковой во всех приближениях. Это дало основание принять среднюю массовую скорость за гидродинамическую скорость. Но в связи с тем, что она через средние скорости компонентов будет содержать ковариантные диффузионные скорости, она не будет обладать свойствами симметрии, характерными для контравариантного вектора.

Применительно к однокомпонентному чистому неоднородному газу дополнительное условие (5.6) приводит к отсутствию таких эффектов как термосамодиффузия или баросамодиффузия (как первая так и вторая). Действительно, в нулевом приближении, в котором используется локально-маквелловская функция, необратимого переноса не было, и средняя скорость газа в этом приближении могла состоять только из обратимой скорости механического перемещения или движения системы отсчета относительно газа со скоростью ,

.                                        (5.9)

Для чистого газа условие (5.6) выглядит так:

,                                                        (5.10)

поэтому для чистого газа совпадает со средней массовой скоростью (5.8), поэтому можно записать :

.                (5.11)

Это соотношение приводит к утверждению, что в чистом газе ничего кроме течения не может быть, т. е. не может быть необратимого переноса вещества. Но это является следствием дополнительных условий, справедливость которых ниоткуда не следует. Более того, эксперименты показывают, что термосамодиффузия существует. Для смеси диффузионный поток в строгой теории /3-11/ вводится относительно средней массовой скорости, поэтому, так же как и в приведенных соотношениях (5.9), (5.11) потока массы необратимой природы существовать не может. И в этом случае это является просто следствием дополнительного условия (5.6), для которого нет никаких физических предпосылок.