Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 21 )

Столкновения, которые выбивают тестовые частицы, не ограничиваются только этими столкновениями, так как и столкновения с полевыми частицами, при всех других прицельных параметрах, а также имеющих любую другую скорость или принадлежащих другим по химическим свойствам, приводят к такому же результату. Следовательно, для нахождения мощности стока частиц выбранного вида, необходимо проинтегрировать число прямых столкновений по прицельному параметру, по скоростям тестовых частиц и разделить на временной интервал. Учет влияния частиц всех компонентов смеси осуществляется суммированием по номерам всех компонентов, включая и номер рассматриваемого компонента. В этом случае молекулы, принадлежащие одному химическому компоненту отличаются тем, что одни из них относятся к числу выбранных тестовых, а другие – к полевым, с которым сталкиваются тестовые. Пределы интегрирования по прицельному параметру необходимо взять от 0 до . При этом приходится для тестовых частиц записывать локально-равновесную функцию распределения.

Нельзя думать, что такой наглядный вывод может обладать абсолютной общностью. Полученное уравнение будет справедливо только для слабонеравновесных газов. Это видно, например, из того, что в пределах стержня, в котором располагаются тестовые частицы, их функция считается постоянной, хотя длина этого стержня не может быть неограниченно малой, так как за время столкновения должны завершиться полностью. Равновесная функция в строгой теории находится из уравнения переноса, которое получается из уравнения Больцмана. Как будет показано ниже, при получении общего уравнения переноса из уравнения Больцмана запись локально-равновесной функции для полевых частиц будет необходима.

Учитывая все сказанное, в результате получим следующее выражение для мощности стока частиц выбранного вида:

,                                (3.4)

где интеграл по берется в пределах от 0 до ,

интеграл по углу -  в пределах от 0 до ,

три интеграла по составляющим скорости – от до.

В балансовом соотношении, которое в этом выводе является исходным уравнением, в правой части стоит производство рассматриваемой величины. Выражение (3.4) дает отрицательную часть производства частиц выбранного вида. Для нахождения положительной составляющей Л. Больцман предложил подсчитывать обратные столкновения. Такие столкновения вводятся следующими мысленными построениями. Скорости тестовой и полевой частиц до столкновения принято обозначать и соответственно. После столкновения эти частицы будут иметь скорости, которые принято помечать штрихами: и .

Если после завершения прямого столкновения () пустить время вспять (сделать реверсию), то, в соответствии с обратимыми законами движения отдельных частиц, в результате тестовая частица приобретет выбранную скорость (). Это говорит о том, что появление частиц выбранного вида из-за столкновений возможно. Для подсчета частоты столкновений, которые генерируют частицы выбранного вида в реальности не надо делать реверсию – они происходят среди множества различных столкновений. Таким образом, наряду с прямыми столкновениями , в этом же объеме и в это же самое время происходят и столкновения , которые приводят к появлению частиц с выбранной скоростью . При малых пространственных неоднородностях мощность источника частиц выбранного вида находится по аналогии с мощностью их стока, если за начальную скорость в столкновениях принять скорость после столкновения:

,                        (3.5)

где характеристики столкновений снабжены штрихами,

- функция распределения, у которой аргументом является скорость после столкновения - .

Производство частиц выбранного вида находится как разность мощности источника и стока:

.                                                        (3.6)

Столкновения можно организовать так, что будет выполняться  следующее равенство:

.                (3.7)

Это дает следующее выражение для правой части кинетического уравнения:

;

               (3.8)

Введя потоковый оператор для краткой записи левой части, кинетическое уравнение для компонента под номером в смеси из s компонентов можно записать так:

.                                                                (3.9)

Это уравнение будет служить основой для получения конкретных результатов для неоднородных многокомпонентных газовых смесей.

3.2. Анализ кинетического уравнения

Область применимости кинетического уравнения ограничена условиями слабых неоднородностей. Как показано в предыдущем разделе, в модели последовательных локально-равновесных состояний кинетическое уравнение для функции распределения молекул каждого компонента записывается в виде 

.        (3.10)

Анализ обычного уравнения Больцмана, приводимый во многих работах применим и к кинетическому уравнению (3.10). Левая часть, которую обычно представляют как потоковый оператор, действующий на искомую функцию распределения молекул по скоростям, во всех способах получения кинетического уравнения имеет одинаковый, традиционный вид /2-6/:

  .                        (3.11)

Как обычно, правая часть кинетического уравнения (3.10) в билинейной форме записана на основе рассмотрения обратимого движения сталкивающихся частиц. Столкновения характеризуются прицельным параметром , определяющим в цилиндре столкновений расстояние между элементарными объемами, в которых находятся соответственно тестовые и полевые частицы. Интегрирование по прицельному параметру проводится в пределах от нуля до бесконечности. При наличии дальнодействующих сил между частицами такое интегрирование возможно в случае локально-равновесных функций распределения полевых частиц. Этим (3.10) отличается от традиционно записываемого уравнения Больцмана.

Для анализа удобно использовать кинетическое уравнение для однокомпонентного газа, в котором через обозначена функция распределения полевых частиц:

.  (3.12)

Видно, что это уравнение содержит три неизвестных: , и его можно записать в виде:

.                (3.13)

Сокращение числа искомых функций до одной делается путем использования связи скоростей до столкновения и скоростей после столкновения, которая следует из законов движения частиц. В этом законе учитывается потенциал взаимодействия частиц. Это и приводит к значительным математическим трудностям при решении.

Запись в правой части (3.10) локально равновесной функции полевых частиц имеет физическое обоснование, которое заключается в следующем. Уравнение (3.10) является балансовым соотношением для тестовых частиц, источниками и стоками для которых являются столкновения их с полевыми частицами, обозначенные индексом β или 1 – для простого газа. Все тестовые частицы принадлежат одной скоростной группе, в то время как полевые частицы могут обладать различными скоростями, и по этим скоростям производится интегрирование. Молекулы как сложные электродинамические системы в процессе столкновений приобретают большие ускорения, что приводит к излучению и поглощению излучения, которое играет важную роль в установлении локального равновесия в пространстве скоростей. Детальное рассмотрение таких процессов недостижимо, но их влияние на уровне статистического описания достигается записью локально - равновесных функций распределения полевых частиц в интеграле столкновения в уравнении (3.10).