Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 15 )

По определению максвелловская функция дает вероятность обнаружить молекулу в единице объема геометрического пространства и пространства скоростей и, как видно из вывода, она представляет собой гауссово распределение в пространстве скоростей. Если умножить на числовую плотность частиц n, то получим ожидаемое число молекул в единице объема фазового пространства. Плотность числа частиц, обладающих скоростью v в интервале dv, запишется так: 

.                                        (2.11)

Максимум максвелловской функции соответствует значению скорости, которую называют наиболее вероятной скоростью, так как такой скоростью с наибольшей вероятностью будет обладать наугад выбранная молекула. Условие максимума дает следующее выражение для этой скорости:

,                                                        (2.12)

vp  – наивероятнейшая скорость.

Полученная функция для каждого газа имеет свой вид, который зависит от массы молекулы. Универсальный вид можно получить, если в качестве масштаба скоростей молекул использовать наивероятнейшую скорость. В этих переменных число частиц в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до  v+dv запишется так:

.                        (2.13)

Здесь в качестве масштаба для скоростей молекул выбрана наиболее вероятная скорость и введена безразмерная скорость :

.                                                (2.14)

Тогда можно ввести максвелловскую функцию от безразмерной скорости:

.                                (2.15)

Эта функция имеет одинаковый вид для всех газов, что делает её удобной для анализа. Из полученного распределения видно, в газе существуют молекулы, которые имеют и большие и маленькие скорости, и если придумать способ их сортировки, то можно получить разность температуры. Максвелл предложил такой Демон. В связи с неожиданностью и важностью для понимания физики явлений, такое воображаемое устройство подвергается тщательному анализу, который приводит к выводу о его невозможности в равновесном газе. Это согласуется со Вторым началом термодинамики, в соответствии с одной из формулировок которого, энергия не может самопроизвольно передаваться от менее нагретого тела к более нагретому. 

Важность подобного рода проблем побудило исследователей провести экспериментальную проверку максвелловского распределения. Как и все микроскопические величины, скорости хаотического движения молекул не поддаются прямому измерению, поэтому и прямой экспериментальной проверке распределение Максвелла осуществить нельзя. Приводимые обычно в учебниках результаты опытов с молекулярными пучками /22-28/ относятся к так называемой трансляционной скорости /129/, по которой тепловую скорость частиц можно вычислить только по формулам, полученным с определенными допущениями. Кроме того, как следует из вывода максвелловского распределения, причиной его существования являются столкновения молекул между собой, а в молекулярных пучках таких столкновений нет. Справедливость этого распределения косвенно подтверждается тем, что полученные с его пользованием результаты на макроуровне согласуются с опытом. При этом важным представляется развитие методов, позволяющих выявлять явления, связанные с распределением молекул газов по скоростям. Один из таких способов связан с введением дистрибутивных подвижностей в неоднородных газах /71,107,108/, когда не существует абсолютного равновесия.

2.1.2. Локально-равновесная функция распределения

Полученные функции дают распределение молекул по скоростям в условиях абсолютного равновесия, поэтому аргументом абсолютного максвеллиана является модуль скорости теплового хаотического движения молекул. Для описания процессов переноса необходимо учесть, что равновесие можно принимать только в пределах отдельного домена, т. е. необходимо рассматривать локальное равновесие, и в этом случае распределение молекул по скоростям описывается локально-максвелловской функцией. Причем, необратимые процессы, которые и рассматриваются в кинетической теории, описываются потоками молекул, импульса и энергии. Эти потоки в кинетической теории находятся путем подсчета количества молекул, которые пересекают контрольную воображаемую площадку в двух встречных направлениях. Наблюдаемый поток определяется разностью числа молекул, импульса или энергии, которые переносится во встречных направлениях. Для такого подсчета важно иметь функцию, которая бы зависела от направления скорости молекул. Таким свойством обладает локально-максвелловская функция.

Разница в количестве молекул, которые при одинаковом модуле имеют разные направления скорости, имеет место, когда в соседних доменах существует локальное равновесие, соответствующее различным значениям макропараметров, поэтому локально-равновесная функция будет иметь семь независимых аргументов: три компоненты скорости молекул в лабораторной системе отсчета , три компоненты радиуса-вектора и время . В условиях локального термодинамического равновесия функция распределения будет содержать локально-равновесные макропараметры, которые являются функциями координат и времени, и. локально-равновесная функция будет функцией координат и времени через эту зависимость. Для описания процессов переноса, надо рассмотреть смесь газов, состоящую из нескольких сортов молекул, поэтому локально-максвелловская функция записывается для каждого компонента смеси.

Таким образом, локально-равновесная функция распределения молекул по скоростям компонента смеси под номером , будет иметь вид:

,

(2.16)

где - локальная парциальная числовая плотность молекул компонента ,

- скорость движения всей смеси как функция координаты и времени.

Эта функция является основой для описания процессов в неоднородных газовых смесях.

2.1.3. Описание столкновений молекул

Реальные молекулы представляют собой сложные электродинамические системы, и они взаимодействую между собой с силами, которые имеют несколько составляющих. Наиболее существенную роль при взаимодействиях играют силы притяжения и силы отталкивания. На сравнительно больших расстояниях превалируют силы притяжения, а на малых расстояниях - силы отталкивания. Силы взаимодействия зависят не только от расстояния между частицами, но и от их мгновенных ориентаций, но в связи с большим количеством столкновений, которые определяют макроскопические свойства, достаточно рассматривать некоторое усредненное взаимодействие, в котором частицы достаточно моделировать некоторыми сферическими объектами.

Строго решения проблемы описания взаимодействия молекул в настоящее время нет, и для описания таких взаимодействий широко используются модельные потенциалы. К настоящему времени предложено достаточно много таких потенциалов. Наиболее простые и часто используемые в кинетической теории газов это - потенциал твердых сфер, потенциал Сэзерленда и потенциал Леннарда-Джонса. /3-5/.

Потенциал твердых сфер выражается разрывной функцией:

                                               (2.17)

где - расстояние между центрами частиц,

- диаметр твердых сфер.

Диаметры разнородных столкновений (как показано на Рис. 2.2.) определяются через диаметры однородных столкновений по комбинационному правилу:

,                                        (2.18)

где – диаметр столкновений частиц компонента с такими же частицами.

Недостатком такого потенциала является его разрывность. Но он имеет и ряд привлекательных сторон. Главная – возможность проводить аналитическое интегрирование во многих сложных выражениях. В строгой кинетической теории это привело к тому, что все формулы для коэффициентов переноса в конечном итоге выражаются через диаметры твердых сфер и через так называемые приведенные звездочные интегралы столкновений /3-6/. При этом возникла некоторое недоразумение, связанное с тем, что в более сложных модельных потенциалах, таких как потенциал Леннарда-Джонса, например, геометрический параметр обозначен также через , поэтому и в формулах для коэффициентов переноса за принимается параметр этого потенциала. Такое недоразумение привело к тому, что найденные значения не относятся к параметру потенциалов типа потенциала Леннарда-Джонса. Более того, формулы строгой кинетической теории вообще не приспособлены для извлечения этого параметра из экспериментальных данных, например, из температурной зависимости коэффициентов переноса, так как в формулы входит только диаметр твердых сфер . В связи с этим, особый интерес представляет потенциал твердых сфер. В настоящее время он используется с учетом того, что в качестве используется некоторый эффективный диаметр столкновений, изменяющийся с температурой /59/.