Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 16 )

Рис. 2.2. Потенциал твердых сфер.

Потенциал Сэзерленда представляет собой комбинацию потенциала твердых сфер и точечного центра сил. Он выражается разрывной функцией:

                               (2..19)

где  - энергетический параметр, который характеризует глубину потенциальной ямы,

- число, характеризующее быстроту убывания сил притяжения с расстоянием (обычно принимается ).

Рис. 2.3. Потенциал Сэзерленда.

Непрерывный аналитический потенциал, который имеет достаточно убедительное теоретическое обоснование и наиболее близок к реальности это - потенциал Леннарда-Джонса. Он выражается через два параметра:

,                                        (2.20)

где - расстояние между центрами частиц, на котором потенциальная функция меняет знак (график пересекает ось абсцисс),

- энергетический параметр – глубина потенциальной ямы.

Рис. 2.4. Потенциал Леннарда-Джонса.

Рис. 2.5. Схема столкновений двух сферических частиц

- относительная скорость. Как и во всех других соотношениях, штрихами отмечаются скорости после столкновения.

В общем случае столкновения молекул газа представляют собой трехмерное явление /4/, но в некоторых простых случаях основные характеристики столкновений можно изобразить и на плоскости. На Рис. 2.5. дана схема столкновения двух твердых сфер разного диаметра и введен угол, через который прицельный параметр столкновения b связан с диаметром взаимных столкновений: .

2.1.4. Частота столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газовых смесях

В условиях локального термодинамического равновесия функция распределения (2.16) позволяет найти такие важные величины как время свободного пролета молекул, частоту столкновений и среднюю длину свободного пробега молекул в многокомпонентных смесях газов.

Время, которое в среднем молекулы пролетают между столкновениями - время свободного пролета , - для молекул компонента в смеси из s компонентов можно найти следующим образом. Сначала находится число столкновений между определенными частицами, которые происходят за единицу времени в единице элементарного объема . Затем находится средняя частота столкновений, а через нее находится время свободного пролета . Средняя длина свободного пробега вводится как произведение времени свободного пролета на скорость.

Из физического смысла, который заложен в функциях распределения, следует, что приведенные функции применимы только для описания азов при таких условиях, когда действия, которые оказываются на тестовую частицу со стороны полевых частиц, настолько кратковременны по сравнению со временем их свободного пролета, что их можно не учитывать. Такая ситуация реализуется достаточно точно в разреженных газах. Для таких газов достаточно одночастичных функций, каковыми и являются приведенные выше, так как они дают вероятность обнаружить одну частицу в единичном интервале гиперпространства или ожидаемое число одинаковых в определенных пределах частиц.

Для газов при повышенных давлениях необходимо учитывать взаимные корреляции состояний молекул. В кинетической теории это делается путем введения многочастичных функций распределения. В частности, для газов умеренной плотности достаточно использовать двухчастичную функцию распределения. Такую функцию удобно ввести так, чтобы она давала вероятность того, что когда молекула находится в интервале геометрического пространства около и в интервале скоростей около , другая частица, , находится в своем интервале около и в своем интервале в пространстве скорости: в около . Тогда вероятность такого события через соответствующую плотность вероятности запишется так:

.                (2.21)

Такая функция будет подчиняться следующей нормировке:

.                        (2.22)

Через эту функцию можно выразить число столкновений, которые будут происходить между выбранными молекулами, если выбрать соответствующим образом интервалы в гиперпространстве. Так, если элементарные объемы геометрического пространства находятся на определенном прицельном расстоянии b, то число столкновений между молекулами и , приходящееся на единицу находится так:

.                (2.23)

Двухчастичную функцию можно выразить через одночастичные и радиальную корреляционную функцию:

,        (2.24)

где - радиальная корреляционная функция распределения.

Для определенности выберем элементарный объем для полевых частиц в виде:

,                        (2.25)

который будет использован и в строгой теории при выводе кинетического уравнения в Главе 3.

Тогда (2.23) запишется так:

.                (2.26)

Частота столкновений молекулы как число её столкновений с молекулами , которые она претерпевает за единицу времени (парциальная частота столкновений) находится делением (2.26) на и на :

.                        (2.27)

В условиях локального равновесия, когда функции распределения являются локально-максвелловскими, с учетом (2.16), этот интеграл берется аналитически. Для этого запишем его в виде:

.

                               (2.28)

Для твердых сфер прицельное расстояние связано с диаметрами соотношением:

;                         ,                (2.29)

где – угол.