Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 24 )

На третьем этапе решаются интегральные уравнения для времен свободного пролета, и получается выражение неравновесной функции распределения через интегральные скобки и градиенты макропараметров.

На четвертом этапе находятся моменты от неравновесной функции распределения, которые интерпретируются как макропараметры и плотности потоков. Сравнение плотностей потоков с конститутивными соотношениями дает формулы для коэффициентов переноса, в которых они выражаются через характеристики молекулярных взаимодействий.

4.1. Метод разложения по временам свободного

пролета молекул

Физическая модель, которая служит основой в развиваемой теории, заключается в том, что в рассматриваемый элементарный объем приходят благодаря своему хаотическому движению частицы из соседних элементарных объемов, находящихся на расстоянии длины свободного пробега частиц данной скоростной группы. При использовании длин свободного пробега или времен свободного пролета важно учесть тот факт, что по отношению к различным процессам сохраняемость данной скоростной группы молекул имеет различный временной или пространственный масштабы.

При небольших отклонениях от равновесия () макропараметры соседних элементарных объемов, отстоящих от рассматриваемого на расстояние порядка длины свободного пробега, выражаются через макропараметры, соответствующие равновесным для рассматриваемого элементарного объема:

        (4.3)

.

В этих соотношениях макропараметры: парциальная числовая плотность nα , температура T, скорость обратимого движения всего газа снабжены индексами 0 и 1, что соответствует их принадлежности к локальному равновесию в рассматриваемом элементарном объеме (0) и в соседнем (1), отстоящем на расстоянии длины свободного пробега, которая равна произведению времени свободного пролета на тепловую скорость молекул  .

Подставляя макропараметры с индексами 1 в локально-максвелловскую функцию распределения, получим:

.  (4.4)

В этом выражении индекс 0 около макропараметров опущен, так как рассмотренный нами элементарный объём около был выбран произвольно, поэтому (4.4) будет справедливо для любого элементарного объёма. В линейном приближении можно считать, что произведения длин свободного пробега , , на градиенты , , малы по сравнению с макропараметрами. После преобразований, из (4.4) получим:

,

(4.5)

;  ,

где - скорость теплового движения молекул.

Сравнивая это с (4.2), получим следующее выражение для функции возмущения: через времена свободного пролета τα , να , ωα  и градиенты макропараметров,

;         (4.6)

;

;

;  ,

.

В этих формулах использовано даидное произведение тензора второго ранга , образованного из векторов безразмерной скорости , а так же и двойное свернутое произведение (обозначено двумя точками в колонку) тензора из диадика и тензора второго ранга градиента скорости (необходимо отметить что в данном шрифте греческая - время пролета - мало отличается от латинской - скорости, но последняя обычно является вектором – скорость, поэтому их не трудно различать). Уравнение состояния предусматривает применение к газу, отклонения от идеальности которого отражено фактором сжимаемости .

Зависимость функции возмущения от скорости определяется этой зависимостью времён свободного пролёта , , , которая будет найдена после постановки полученной неравновесной функции в кинетическое уравнение и решения полученных интегральных уравнений. Для получения интегральных уравнений для времен свободного пролета неравновесная функция (4.5) подставляется в кинетическое уравнение (3.10).

Левая часть с точностью до величин второго порядка малости будет представлять собой потоковый оператор, приложенный к локально-максвелловской функции:

.                                                (4.7)

Пренебрегая величинами второго порядка, запишем:

.                (4.8)

Подстановка в виде (4.1) в (4.8) дает левую часть в следующем виде:

                       (4.9)

Логарифмируя (4.1), получим:

                                       

  .                        (4.10)

Дифференцирование по времени этого выражения дает:

.                        (4.11)

Дифференцирование по координате и скорости дает:

;                        (4.12)

.                                        (4.13)

Подстановка этих выражений в (4.9) дает левую часть кинетического уравнения:

                                       (4.14)

.

Производные по времени в этом выражении исключаются с помощью уравнений сохранения. В используемом здесь приближении (4.7), в уравнениях сохранения необратимые потоки считаются величинами второго порядка малости, и они записываются в виде /3-5, 52, 53/:

;                                        (4.15)

;                                        (4.16)

.                (4.17)