Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 27 )

;        (4.49)

;

(4.50)

,

(4.51)

где 

.                                                (4.52)

Аналогично для второго приближения:

;                                        (4.53)

       ;                                        (4.54)

;                                                (4.55)

.                                (4.56)

Поученные выражения дают следующую формулу для диффузионного времени ободного пролета как функцию безразмерной скорости в высших приближениях:

.                (4.57)

Для коэффициентов разложения имеем:

;                (4.58)

;                                (4.59)

;                                                (4.60)

;                                (4.61)

.                                                (4.62)

Как будут показано в следующих разделах, через неравновесную функцию распределения найденное время свободного пролета войдет в диффузионный поток и в коэффициент диффузии, поэтому оно названо диффузионным.

4.3. Решение уравнения для вязкостного времени свободного пролета молекул

Время свободного пролета, которое можно найти из уравнения (4.26) ,

названо вязкостным, так как оно войдет в вязкие напряжения и в коэффициент вязкости. Решение этого интегрального уравнения проводится так же как и решение для диффузионного времени свободного пролета. Разложение по полиномам Сонина-Лагерра запишется так:

,                                        (4.63)

где - пробная функция.

Основные особенности коэффициента вязкости смеси наблюдаются уже в первом приближении, в котором время свободного пролета считается независящим от скорости молекул. В этом случае в (4.63) удерживается один, равный единице полином, и уравнение (4.26) превратится в алгебраическое уравнение относительно :

.        (4.64)

Для нахождения явного вида умножим это уравнение бискалярно на тензор второго ранга и проинтегрируем по скорости тестовых частиц:

                                                                                                               (4.65)

.

Проведя интегрирование левой части и выражая правую часть через интегральную скобку, получим:

.                                        (4.66)

Используя выражение для этой интегральной скобки /4, 5/,

;        (4.67)

получим формулу для вязкостного времени свободного пролета молекул:

.        (4.68)

4.4. Решение уравнения для

термического времени свободного пролета молекул

Интегральное уравнение (4.25) кроме термического времени свободного пролета содержит и диффузионное, поэтому термическое время можно выразить через уже найденное диффузионное. Тот же результат получается из более простого уравнения, которое получается для стационарного процесса:

                                                                                                       (4.69)

В первом приближении это уравнение запишется так:

                                                                                                       (4.70)

Умножая скалярно левую и правую части этого уравнения на скорость тестовых частиц и интегрируя по ним, получим:

                                                                                                               (4.71)

Проведя интегрирование в правой части и выражая левую часть чрез интегральные скобки, получим:

.(4.72)

Вторая интегральная скобка уже рассматривалась, а первая, введенная здесь скоба, выражается через интегралы столкновений:

.                (4.73)

Таким образом, для термического времени свободного пролета в первом приближении получается следующая формула:

.  (4.74)

Как будет показано в следующей главе, хотя это время свободного пролета и названо термическим, тепловой поток определяется не только им, а в связи со сложностью процесса теплопроводности в газах, и диффузионным временим свободного пролета.

4.5. Эвристический метод решения для диффузионного времени свободного пролета молекул

Одна из особенностей развиваемой здесь теории связана с тем, что разложение функции распределения производится по временам свободного пролета, которые имеют определенный физический смысл. Для потенциала твердых сфер, в частности, в свое время Л. Больцман исследовал зависимость длины свободного пробега от скорости /2/. Полученную зависимость можно использовать для подбора соответствующей зависимости времени свободного пролета от скорости. В работе /40/ предложена такая зависимость в виде

,                                                (4.75)