Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 20 )

Так изначально выбранная группа тестовых молекул проходит последовательность локально равновесных состояний, а энтропия генерируется в процессе каждого перехода к новому равновесию. Это происходит всегда, пока существует различие макропараметров в соседних доменах. В равновесном газе нет таких переходов от одного равновесного состояния к другому, поэтому нет и производства энтропии.

При установлении каждого локального равновесия в рассмотренной цепочке значительную роль играет излучение, в котором все эти процессы происходят. Именно оно, пронизывая все пространство, приклеивает к новому равновесию прибывающие молекулы. Это отражается тем, что прибывающие в домен молекулы всегда встречают в новой цепочке полевые молекулы уже распределенные по равновесному закону. Так в модели последовательных локально равновесных состояний статистически учитывается влияние излучения, которое в конечном итоге и приводит к генерации энтропии. В определенном смысле можно сказать, что генерация энтропии происходит за счет сбрасывания неравновесности при переходе от одного локального равновесия к другому. И если не задаваться вопросом о том, почему полевые молекулы встречают текстовые, будучи уже распределенными по равновесному закону, то энтропия производится столкновениями тестовых молекул, распределенных не по закону равновесного распределения для данного домена с равновесными полевыми молекулами.

Необходимость привлечения излучения вызвана тем, что установление равновесного распределения пришедших тестовых частиц не вызывает нарушения равновесности распределения полевых частиц – они покидают свой домен и приходят в новый в качестве тестовых и равновесных для своего старого домена. Бесконечно большая емкость или запас прочности равновесности полевых частиц может быть обеспечен только всепроницающим излучением, которое удерживает в локальном равновесии полевые частицы, позволяя им поглотить принесенную неравновесность тестовых частиц и установить в них распределение, соответствующее новому для них домену. При этом в распределении полевых частиц не происходит изменений, и они покидают свой домен как равновесные для него.

Такая модель просматривается в элементарной теории диффузии, когда для подсчета результирующего потока молекул рассматриваются молекулы, пересекающие контрольную площадку после выхода их из локально равновесных прилегающих доменов. При этом подразумевается, что каждый новый акт пересечения площадки происходит после установления равновесия в прилегающих доменах, и молекулы, которые только что оказались в соответствующих доменах вновь пересекают площадку, как и ранее бывшие в нем, т. е. будучи распределенными по равновесному закону.

Процессы, в которых каждый новый шаг не имеет памяти о предыдущих шагах, называется цепочкой Маркова. Для случая молекул газа видно, что цепочку Маркова можно осуществить только с привлечением излучения, в котором как в некоторой успокаивающей среде происходят соударения. Установление равновесного распределения происходит отчасти за счет столкновений пришедших тестовых частиц со встречными, пришедшими из соседнего домена с зеркальным отклонением от равновесия. Но таких столкновений по сравнению со столкновениями с равновесными полевыми частицами мало, и для них картина установление равновесного распределения такая же, как и для рассмотренных вначале тестовых молекул.

3.1. Физический вывод кинетического уравнения

К настоящему времени известно несколько способов получения кинетического уравнения Больцмана. Они подробно изложены во многих работах (например, /2-16/). Ниже приводится вывод кинетического уравнения, который основан на простой физической модели – так называемый физический вывод. Это обусловлено тем, что в таком выводе выявляется физический смысл используемых величин и приемов, что необходимо для прояснения природы необратимости. В полученном кинетическом уравнении, в отличие от общепринятой записи, в интеграле столкновений для полевых частиц будут записаны локально-равновесные функции распределения. Такое уравнение иногда называют уравнением Больцмана-Лоренца /131/. В дальнейших разделах будет показано, что это необходимо при выводе общего уравнения переноса, из которого и следуют такие важные результаты как Н-теорема Больцмана, локально-равновесная функция в виде локально-максвелловской функции распределения.

Физический вывод повторяет исторически первый вывод самого Больцмана /2/. Левая часть – потоковый оператор – обычно представляется как субстанциональная производная в шестимерном гиперпространстве. В настоящей работе кинетическое уравнение рассматривается как балансовое соотношение для частиц выбранного вида, и левая часть записывается как внешняя производная от функции распределения в шестимерном пространстве. Это позволяет избежать трудностей, связанных с тем, что с одной стороны скорость частиц, радиус-вектор и время рассматриваются как независимые аргументы функции распределения, в то же время в субстанциональной производной они определяются как соответственно производная по времени от радиуса-вектора - для скорости и производная от скорости для ускорения.

Приведенный ниже вывод кинетического уравнения предусматривает и определенный способ его решения, в котором вид локально-равновесной функции берется из элементарного рассмотрения, проведенного до записи кинетического уравнения. В такой общей схеме по существу нельзя дело представлять так, что изначальным принципом может быть только уравнение Больцмана, из которого находится и равновесная функция. В действительности же эта функция получается из общего уравнения переноса, симметрия правой части которого имеет место только при использовании равновесных функций полевых частиц. Такие особенности излагаемой здесь теории оправданы тем, что они дают возможность выделять из наблюдаемых потоков необратимые составляющие и учитывать отличия их свойств симметрии от обратимых потоков. Можно надеяться, что это даст возможность вскрыть физику необратимости.

Кинетическое уравнение можно рассматривать как балансовое соотношение для частиц выбранного вида, приходящихся на единицу объема в шестимерном гиперпространстве. Число частиц выбранного вида, т. е. частиц, приходящихся на единицу рассматриваемого домена, и обладающих данной скоростью в пределах инфинитезимального интервала в пространстве скоростей , через функцию распределения молекул по скоростям выражается так:

.                                (3.1)

Плотность потока частиц в геометрическом пространстве определяется через их плотность и скорость , т. е. как , а в пространстве скоростей – через плотность и ускорение: . Балансовое соотношение для частиц выбранного вида запишется так:

.                        (3.2)

Учитывая независимость скорости от координаты, а ускорения от скорости, балансовому соотношению можно придать более привычный вид кинетического уравнения:

.                        (3.3)

Правая часть этого уравнения представят собой мощность источников. Для частиц выбранного вида источниками и стоками могут быть столкновения молекул между собой, ибо их результатом является изменение скорости. Прямые столкновения приводят к исчезновению частиц выбранного вида, так как после них скорость не будет входить в рассматриваемый нами интервал.

Среди большого числа столкновений есть и столкновения, в результате которых молекула приобретает выбранную нами скорость, что приводит к появлению частиц выбранного вида. Для подсчета таких событий необходимо рассмотреть так называемые обратные столкновения, т. е. такие столкновения, в которых до их начала молекулы бы обладали такими скоростями, которые соответствуют ситуации после столкновения в прямых столкновениях.

Такой способ нахождения мощности источников частиц выбранного вида предложил Л. Больцман. Наглядная картина обычно представляется в виде так называемого «цилиндра столкновений Больцмана», изображенного на Рис. 3.1. .

Рис. 3.1. Цилиндр столкновений

- элементарный объем тестовых частиц,

- элементарный объем полевых частиц,

- прицельный параметр столкновений.

Как видно из рисунка, элементарный объем , в котором находятся частицы, для которых функция распределения будет искомая - тестовые частицы -  выбран в виде стержня. Полевые частицы – частицы с которыми сталкиваются тестовые - расположены в своем элементарном объеме , форма которого выбрана так, чтобы при движении элементарного объема относительно него с относительной скоростью происходили столкновения с прицельным параметром в пределах . Таким образом, при вхождении стержня в цилиндр между тестовыми частицами выбранного вида и полевыми частицами происходят определенные столкновения. Число так определенных прямых столкновений, происходящих за временя , находится как число событий, в которых тестовые частицы располагаются в , в то же время полевые - в .