Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 22 )

Кинетическое уравнение относится к классу интегро-дифференциальных уравнений, для решения которых к настоящему времени нет общего подхода. Интересные для практики формулы для коэффициентов переноса получены из этого уравнения благодаря малости отклонений неравновесной функции от локально-равновесной. В настоящей монографии это существенно используется при записи разложения неравновесной функции по временам свободного пролета молекул /34-40/. Подстановка неравновесной функции в кинетическое уравнение дает интегральные уравнения для времен свободного пролета. Полученные интегральные уравнения относятся к классу неоднородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, для решения которых применяются хорошо разработанные методы /2-6/. Такая схема позволяет избежать многих трудностей, связанных со сложностью самого кинетического уравнения.

3.3. Общее уравнение переноса

Кинетическое уравнение (3.10), которому подчиняется функция распределения молекул по скоростям, представляет собой детализацию балансового соотношения для рассматриваемых молекул. Эта детализация заключается в том, что из молекул данного химического компонента выделяется группа, обладающая одинаковой, в пределах элементарного объема в пространстве скоростей d3ξ , скоростью . Для таких частиц, которые вслед за Больцманом /2/ принято называть частицами выбранного рода (или вида), источником служат столкновения с частицами, обладающими другими скоростями и находящимися на определенном расстоянии, введенном в динамике парных столкновений как прицельный параметр, который изменяется от до b+db. Тот факт, что тестовые частицы и полевые находятся в разных местах пространства необходимо отразить в интеграле столкновений тем, что функции распределения полевых частиц записываются в виде локально-максвелловских функций. Такая необходимость явно проявляется при выводе из кинетического уравнения общего уравнения переноса и при доказательстве с его помощью Н - теоремы Больцмана.

Для получения общего уравнения перенос из кинетического уравнения (3.10) подействуем на него оператором ,

.                                                        (3.12)

В результате получим:

.                                                                                                                                

.        (3.13)

В левой части этого уравнения интегрирование и дифференцирование во всех членах производится по независимым переменным, поэтому эти операции можно переставлять местами, поэтому ему обычно придают вид общего уравнения переноса:

;                (3.14)

;

.

Уравнение (3.13) дает изменение введенной функции скорости , приходящееся на единицу элементарного объема тестовых частиц d3r. Левая часть этого уравнения отражает изменение функции скорости , обусловленное перемещением рассматриваемого элементарного объема в шестимерном фазовом пространстве, а правая часть отражает изменения, связанные со столкновениями тестовых частиц с полевыми частицами. При этом рассматриваются такие столкновения тестовых частиц, находящихся в элементарном объеме , в которых полевые частицы могут находиться на любом расстоянии от , так как интегрирование по прицельному параметру b производится от нуля до бесконечности.

Действием оператора , содержащего функцию скорости полевых частиц φβ(ξβ), получим уравнение, в правой части которого изменение φβ(ξβ) будет относиться к тем же процессам столкновений рассматриваемых полевых частиц с тестовыми, но когда полевые частицы будут являться соответствующими парами для тестовых частиц. Для этого полевые частицы должны находиться в своём элементарном объеме d3ru. Чтобы выполнить это условие, необходимо переместить полевые частицы на прицельный параметр b от элементарного объема тестовых частиц d3r. При наличии градиентов макропараметров такое перемещение должно привести к изменению функции распределения полевых частиц, и чтобы избежать этого, в кинетическом уравнении эти функции принимаются локально-равновесными. Ради удобства в этих рассуждениях считалось, что полевые частицы относятся к компоненту β, так как суммирование по β от 1 до s позволяет учесть и случай, когда полевые частицы относятся к тому же компоненту α, что и тестовые.

Интегрирование по всем скоростям позволяет учесть изменения введенной функции скорости φ(ξ) во всех столкновениях, поэтому правые части полученных уравнений будут равны, и их можно заменить полусуммой.

                                          (3.15)

.

Последнее уравнение симметрично относительно замены скорости молекул до столкновения на скорость после столкновения, , так как и в прямых столкновениях, и в обратных, тестовые частицы находятся в элементарном объеме d3r, на единицу которого и приходятся все изменения функций. Вновь заменяя правую часть их полусуммой, получим:

                                                (3.16)

.

Такая форма общего уравнения переноса благодаря особому виду правой части позволяет найти решение для однородного стационарного состояния, когда функция распределения тестовых частиц будет локально-максвелловской функцией. Именно из этого уравнения следует Н-теорема Больцмана.

3.4. Н-теорема Больцмана

Наиболее существенные результаты, полученные из кинетического уравнения Больцмана связаны с тем, что из него следует, существование в неоднородных газах необратимых процессов, принципиально отличающихся от обратимых чисто механических перемещений. Истоком таких результатов является Н-теорема Больцмана, которая дает статистическую интерпретацию энтропии. Балансовое соотношение для энтропии, которое получается из общего уравнения переноса, служит основой для энтропийного анализа процессов в неоднородных газах. Такой анализ, в частности дает способы отделения обратимой части наблюдаемых потоков от необратимой.

Формула Больцмана, которая будет получена из Н-теоремы, даст связь плотности энтропии с функций распределения молекул по скоростям, которая подчинена соответствующим нормировкам. Эти нормировки определяют размерность функции распределения, а при переходе к энтропии эта размерность оказывается неудобной. Чтобы избежать этого неудобства ниже приводится доказательство Н-теоремы для безразмерной функции распределения.

Для доказательства Н - теоремы введем безразмерную функцию распределения:

        ;                 (3.17)

.

Эта функция в пространстве безразмерной скорости ,  нормирована на единицу:

В общее уравнение переноса (3.16) в качестве функции скорости подставим натуральный логарифм от безразмерной функции:

.                                                                (3.18)

В результате получим:

                                                               

. (3.19)