Кинетическая теория необратимых процессов в газах (стр. 18 )

(2.47)

После интегрирования по составляющим скорости получим:

.                                (2.48)

Это выражение можно записать через средние арифметические скорости молекул:

.                                (2.49)

В случае, когда температура в обоих сосудах поддерживается одинаковой, а давление различное, то будет происходить истечение ультраразрежённой смеси, которое принято и называть эффузией. Поток эффузии компонентов смеси будет зависеть от масс частиц, и в случае разных масс эффузия будет приводить к частичному разделению смеси по компонентам. Видно, что при одинаковой разности парциальной числовой плотности для обоих компонентов смеси потоки будут подчиняться соотношению:

.                                                        (2.50)

Это соотношение известно как закон Грэхема. Из этого закона видно, что в область низкого давления больше будет проникать легких частиц, что можно использовать для разделения газов. Измерения потоков двух газов в изобарных условиях в нормальной гидродинамической области течений показали, что и в этом случае приблизительно выполняется закон Грэхема.

2.1.6. Термотранспирация в кнудсеновском газе и формула Рейнольдса

Из формулы (2.48) видно, что поток частиц может быть обусловлен разностью температуры газа в сосудах. Такое явление принято называть термотранспирацией. В эксперименте оно может наблюдаться через разность давления в этих сосудах – термомолекулярное давление. В установившемся процессе поток частиц через отверстие отсутствует, поэтому между давлением в сосудах установится соотношение, которое записывается в виде формулы Рейнольдса:

.                                                (2.51)

Эта формула следует из (2.48), так как газ описывается уравнением состояния идеального газа, которое справедливо для каждого компонента смеси в соответствующем сосуде:

.                                                        (2.52)

Обычно эта формула применяется к чистому газу. Из неё следует, что в холодной области ультраразрежённого газа устанавливается давление ниже, чем в более нагретой. Это используется в манометре Кнудсена для измерения давления в ультраразрежённых газах.

Термотранспирация обнаруживается через разность давления, которая устанавливается в сосудах, соединенных пористой перегородкой, если температура газа в них поддерживается разной. Эта разность давления называется термомолекулярным давлением. Такие эффекты играют большую роль в природе. В частности в основе действия радиометра лежит термомолекулярное давление. Особенно интересны такие эффекты в переходной области. Как показано в ряде работ /30, 82, 84, 87/, механизм, лежащий в основе этих явлений, который заключается в том, что в изобарных условиях из холодной области уходит больше молекул, чем навстречу им из горячей, что приводит к потоку термосамодиффузии в чистом газе или термодиффузии – в  смеси. В нормальной области, в отличие от кнудсеновского, такой поток необратимой природы компенсируется гидродинамическим течением, которое зависит от вязкости газа, от размеров каналов. Как видно из формулы (2.51), в кнудсеновском режиме разность давления определяется только разностью температуры. В нормальной области направление разности давления такое же, но размер разности давления зависит от размеров каналов, от микропараметров газов, поэтому в нормальной области эту разность давления назвали термодиффузионным бароэффектом /82, 84, 87/.

2.1.7. Процессы переноса в теории

Максвелла-Больцмана-Джинса

Полученные в предыдущем разделе формулы дают так называемую максвелловскую длину свободного пробега и среднее время свободного пролета молекул. Для описания процессов переноса в приближении локального равновесия в соседних доменах необходимо использовать транспортную длину свободного пробега, которая отличается от (2.43) поправками, учитывающими персистенцию скоростей после столкновений /3, 27, 123/. При этом для каждого вида процесса переноса необходимо вводить свою транспортную длину свободного пробега. Сравнения с экспериментами показали, что с учетом таких поправок формулы для коэффициентов переноса неплохо описывают наблюдаемые особенности, а в связи с тем, что при подсчете результирующего потока частиц или импульса удается оставаться в инерциальной системе отсчета, такое описание имеет некоторые преимущества перед строгими теориями. Такая теория развивалась в начальных работах Больцмана /2/, Максвелла /130/. В работах Джинса была введена поправка на персистенцию скоростей /3, 123/. Учитывая это, теорию процессов переноса, в которой существенно используются транспортные длины свободного пробега, в ряде работ называют теорией Максвелла-Больцмана Джинса.

Основной прием, используемый в теории, заключается в подсчете числа молекул, которые пересекают в своем хаотическом движении контрольную площадку. Чтобы подсчитывать количество молекулярного признака, который молекулы перенесут через контрольную площадку, по обе стороны от неё воображаются слои, размеры которых определяется транспортной длиной свободного пробега. Транспортная длина учитывает сохраняемость составляющей скорости молекулы, направленной к контрольной площадке, после столкновений, т. е. – персистенцию скоростей /3, 27, 123/. Среднее отношение, учитывающее персистенцию скоростей можно определить так:

,        (2.53)

где – скорость после столкновения.

Интегрирование с учетом (2.19), (2.39) дает:

.                                (2.54)

С учетом персистенции скоростей диффузионная транспортная длина свободного пробега определяется так:

.                        (2.55)

Эта длина свободного пробега определяет перенос самих молекул, и через неё определяется коэффициент диффузии.

Процессы переноса импульса упорядоченного движения определяются вязкостной транспортной длиной свободного пробега, в которую отношение персистенции скоростей входит в квадрате /32/:

.                        (2.56)

Диффузия газов наиболее просто поддается наглядному описанию. Здесь выявляется основная особенность необратимого процесса, которая заключается в том, что в одном направлении через контрольную площадку пролетает больше частиц, чем во встречном. При этом скорости частиц большие, но разность числа частиц, пересекающих площадку в двух направлениях мала. Эта разность и составляет чистый поток частиц – истинно диффузионный поток. Как видно из предыдущих разделов, таков же механизм возникновения потоков и в ультра разрежённом газе. Разница в том, что в ультраразрежённом газе молекулы пролетают беспрепятственно весь сосуд, а в нормальном режиме течения – только длину свободного пробега. Кроме того, в нормальной области течений газ может перемещаться как сплошная среда, и в нем одновременно может существовать и диффузия как необратимый перенос частиц, и конвекция как обратимое механическое перемещение.

Совместное существование таких различных по природе явлений приводит к трудностям при их описании, и для упрощения обычно суммарный эффект описывается или как только течение с некоторой обобщенной скоростью, или как обобщенная диффузия. Причем, чем выше уровень развития формального математического аппарата, тем это проявляется отчетливее. Таким недостатком не страдает простейшая модель процесса, которая возникла исторически первой, но которую в последнее время считают просто ошибочной, что отчасти связано с чрезмерно упрощенном её изложением, а отчасти просто с ошибками, с которыми она излагается. Основным преимуществом наглядной теории является то, что она рассматривает процесс диффузии в неподвижном газе, т. е. - отдельно от течения, что, в частности, обеспечивает инерциальность системы отсчета, в которой рассматриваются столкновения молекул. Для описания наблюдаемого смешанного переноса две составляющие складываются на уровне потоков как тензоров нулевого ранга – как объемных расходов. Так интуитивно обходилась трудность, связанная с различием свойств симметрии механической скорости течения и диффузионной скорости: первая является контравариантным вектором, а вторая – ковариантным вектором.

Для дальнейших разработок этой проблемы представляется важным привести описание истинной диффузии на основе модели длины свободного пробега.

Учитывая, что молекулы в неподвижном газе долетают до контрольной площадки с расстояния, равного транспортной длине свободного пробега, имея скорость, направленную под углом к нормали к площадке, - составляющая плотности потока молекул компонента запишется так: