Практикум по вычислительной математике (стр. 14 )

Работа 9

Задание. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему лине ных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итера1

1.  Г2.7*,+3.3*2+1.3*з = 2.1; №2. {1.7*, +2.8*2+ 1.9*3=0.7;

3,5л’, — 1,7*2 + 2,8*з = 1 <7; к4,1л*, + 5,8*2— 1.7*з=0,8.

3.  Г3,1*, + 2,8*, + 1,9*,=0.2; № 4.

I.  ГЗ, 1 *, + 2,8*2 + 1 <9*з = 0,2; л 1,9* | + 3,1*2 + 2,1*з = 2.1; (.7,5л*, + 3.8*2+4,8л'з = 5,6.

(6.5* Г7.1л s 5.0л (8.2 л Г4.1* < 3.8* (.7,8* Гб,3л <3.4* (0.8* (0.9* < 2,5* U.5* Г 5.4* <2,5* (2.7* Г 3,2* <0,8* (.2.4*

’3,3.v | + 2.1 л2 + 2,8.\'з = 0,8;

14.1  V | + 3.7.Vi + 4,8л‘з = 5,7;

2.7.V | + 1.8 .Vi + 1,1 - V з = 3,2.

3.2* i -2.5*2 + 3.7*з = 6.5;

0.5.V i + 0.34.x 7 + 1.7л'з = - 0,24;

1.6  v, + 2.3*2 — 1,5л'з=4,3

3.6-  Y 1 + 1,8л2 — 4.7л'з — 3,8;

2.7 x 1 — 3,6.v2 + 1.9,х'з = 0.4.

1,5л' | + 4,5л*2 + З. Злз = — 1,6.

’2.7* 1 + 0.9 x'2 — 1,5л'з = 3,5;

—2,8.x'2 + 6,7* 3 = 2.6;

+ 3.7.y2 — I.4.y3 = - 0.14.

+ 6.7.Y2-1.2*3 = 5.2;

+ 1 .Зл2 - 2,7л j = 3.8;

—4,5 v2 + 3.5* 3 = — 0.6.

jyj> 15. f7,8л i + 5,3л2 + 4.8л3 — 1,8;

+ 1, 1л'2 + 1.8*3 — 2,3;

+ 3.3л 2 + 2.8Л3 — 3,4.

JYs 17. [ I.7л, — 2.2 v2 + З. Ол'з = 1,8;

!-1.9*2—2.3*з = 2.8;

+ 3,9.y2 ~ 3,1 л'з = 5.1.

№ 19. f3.3* 1 + 3,7*2 + 4.2л‘з = 5.8;

+ 2.3*2-2,9*з = 6.1; +4.8л2 — 5,0*з= 7,0.

№21. Г 3,7*, +3,1 *2 + 4,0*з = 5.0;

4,1 х', + 4,5*2 —4.8*3 =4.9; -2.1*, -3.7*2 + 1.8л3 = 2,7.

Л» 23. ГЗ, 7л,—2,3*2+4,5*з = 2.4;

<  2.5*! + 4.7*2 — 7.8*з = 3,5; (.Кб*, +5,3*2+ 1,3*з= -2,4.

№ 25. Г1.5*, + 2,3л2 - 3.7*з = 4,5;

2,8 х, + 3.4 х 2 + 5,8*з = — 3.2;

1.2*, + 7,3*2 — 2.3*з = 5,6.

№ 27. Г2.4у, + 2,5*2 - 2,9*з = 4.5; 0.8*,+3.5*2-1,4*з = 3.2;

1.5* j — 2,3*2 + 8.6*3 — — 5,5.

ЛЬ 29. Г2.4л! + 3,7*2 - 8.3*3 = 2,3; j I -8л, + 4,3 х_2 + 1.2*з — — 1,2; 13А\-| -2.3*2 + 5,2*3 = 3.5.

№ 6. Г7,6*, + 5.8*2 + 4.7*з = 10,1;

3,8  х, + 4,1 *2 + 2,7*з =9.7; „2,9л ] + 2,1л-2 + 3,8лз = 7,8.

№ 8. (5.4л, - 2.3л2 + 3,4*з = - 3.5;

14,2л, + 1.7*2 — 2,3*з= 2.7;

.3,4 г, + 2.4*2 + 7.4*з =1.9.

№ 10. (5.6*, + 2,7*2-1.7л3= 1.9; л 3,4*, — 3. 6л 2 — 6.7л з = — 2,4; („0.8л i + 1,3*2 + 3.7л з = 1,2.

№ 12. Г4.5л,-3.5*2+ 7.4*з = 2,5;

^ 3,1 *| —0,6*2 — 2,3*3 = — 1.5; (.0.8*, + 7,4*2 — 0,5*з = 6,4.

№ 14. Г5.4*,-6,2*2-0.5лз = 0.52; л 3.4*, + 2.3*2 + 0,8*3 = —0,8; („2,4л", — 1.1*2 + 3,8л з = 1.8.

JVS 16. Г 3,8*, +4.1*2 -2,3*з=4,8;

-  2,1*, + 3,9*2 - 5,8*з = 3,3;

1  ,8*, + 1,1 *2 — 2.1 *3 = 5,8.

№ 18. (.2.8*!+ 3.8*2 -3,2*з =4,5; л 2,5*, — 2,8*2 + 3,3*з = 7,1;

■  -7.1*2+4,8*3 = 6,3.

№ 20.

+ 6.8л'2 + 6,1 *3 = 7,0;

+4.8.Y2 + 5,3* з = 6.1;

+ 7.8*2 + 7,1*з = 5,8.

+ 5,2*2- 5.8*з = 7.0;

— 3,1*2 +4.0*з = 5,3;

+ 5.3*2 — 6,3*з = 5.8.

+ 5.2*2—0,6*з = 1.5;

— 2,3*2 + 3.4л з = 2.7;

+ 1,4*2 + 3,5*з = 2,3.

+ 2.7*2-3.8*з = 2.4;

+ 5,8*2 — 0,5*3 = 3,5;

—2,1*2 + 3,2*3 = — 1.2.

—2,4*2 + 3.8*з= 5,5;

+ 6,8*2— 1,1*з =4,3; —0,6 л 2 + 1,5*з = —3,5.

—  11,5*2 + 3,8*з = 2,8; + 1,3*2 - 6,4*з = —6,5; + 7.2*2 — 1.2* з = 4.5.

Образец выполнения задания

Г4.5л', — 1,8*2 + 3,6*з = — 1,7; (I) s 3.1 х 1 + 2,3*2 — 1,2л'з = 3.6; (11)

11  ,8*, + 2.5.Y2 + 4.6*з = 2.2. (III)

Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали Ревосходили бы остальные элементы строк;

7,6.y,+0,5.y2 + 2Ay3= 1,9; (14-11)

2,2.v i 4-9,1 л, + 4,4.y3 = 9,7; (2111 + II -1)

-  1,3л, 4-0,2a‘2 4- 5.8л'з = — 1,4; (III-II)

( 10.v 1 = 2.4д-1 — 0.5.Y2 — 2,4л з 4- 1,9;

ч 10.v2 = - 2,2 v i + 0,9л'2 - 4,4л'з 4- 9,7,

U Ол'з = 1 .Зл* 1 — 0,2л* 2—4,2л'3 — 1,4.

.y 1 = 0,24.y 1 - 0,05л*2 - 0,24л'з+0J 9: л* 2 = — 0,22л*1 4- 0,09л'2 - 0,4Дл*з+0,97; л'з = 0,1 Зл* i - 0,02л2 4- 0,42л*з — 0,14.

Норма \\ А ||! матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвес в правых частях уравнений, равна [0,53; 0,77; 0,57} =0,77< 1; зна1 процесс Зейделя сходится.

Вычисления располагаем в таблице:

N	*■	Л,	Лз	Л"	Vi	■v2
0	0.19	0,97	-0.14	5	0.2467	1,1138	-0,22“
1	0,2207	1,0703	-0.1915	6	0.2472	1.1143	—0,224
2	0.2354	1,0988	-0.2118	7	0,2474	1,1145	-0.224
3	0.2424	1.1088	-0.2196	8	0,2475	1,1145	—0,22
4	0,2454	1.1124	-0.2226

Ответ: .y, *0,248, *2% 1.1 IS; х3ъ -0,224.

Глава IV

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Работа 1

Задание. Используя схему Горнера, составить таблицу значе многочлена на отрезке [0,5; 2,0]; шаг Л = 0,25. Вычислс выполнять с точностью до 0,0001, ответ округлить до тыся1

№ 1. 1.723л5 № 2. 1,654л-5 № 3. 1.514л*5 № 4. 0,372л*5 № 5. 0.853л5 № 6. 0,623л5 № 7. 1,273л5 № 8. 0,375л5 № 9. 1,116л5 № 10. 0,764л № 11. 0,374л- 12.  1,073л 13. 0.513л- 14.  1,087*

+ 0.137л-4 - 0.814л-3 + 2.364л2 - 1,176л-4-3.962.

4- 0.21 Зл4 - 0,744л-3 + 1,283л*2 - 2.151 л + 4.134.

-0,124л4 - 0,548л 3 4- 3,214л-2 -1.124л 4- 2.258.

-  0.612л-4 4- 0,532л 3 + 1,134л2 - 1,247л* - 1,624.

-  1.514л-4 - 0.143 л - *41,217 л2 - 2.243л 4- 2.415.

+ 1,275л 4 - 0.217л 3 + 1,315л 2 - 3,174л - 1,862.

4-0.116y4-0,343л43,115л-2-1,262л*4-0,375.

-  1,213 ч 4 + 1,108 л 3 + 0,742л2 - 3.115л* 4- 2,724.

4-0,127л4 — 0.316.v3 4- 1.164л2-2.273л- 1,123.

5  -0.312л'4 4-1.216.Y3 - 2.458л 2 4- 1.273л4- 0,834.

5  + 0.242л*4 - 1.41 Зл 3 + 0,746л 2 4- 3,183.v - 0,678.

5 - 0,143л4 4- 0,568л-3 4-1,215л 2 - 3,146л + 1,618.

5  - 0,837л4 4-1.2.15 л-3 4- 2,453л-2 - 1,783л - - 0,847.

5  - 1,243л 4 4- 0.656л-3 - 0.783л 2 + 2,574л + 0.564.

0,683л*5 4-1.143л 4 - 0.562л3 + 1,844л2-2,154л 4-1.472.

1,21 Зл5 - 0.216 V4 + 1.316л-3 - 2,758л2 4- 3,612л* - 0,388.

1,316л 5 - 0,144 \-4 - 0,572л-3 + 1.854 v2 —2,71 Зл 4-1,625.

1  ,172л5 - 0,534л 4 - 0.316.Y3 4-1,283л 2 + 1.615л - 2,652.

0,61 Зл 5 + 0,318л-4 - 1,216.Y 3 4- 2.517л 2 - 3,712л: 4- 0,454.

№ 20. 0,278л5 - 0.763л-44-1,072л3 4-1,61 Зл2 - 2,312.V—1,418.

21  0.475л-5-0.612л-4 + 1.314л3 + 1.183л'-3.154л+ 0.844.

22  0.683л5 + 0,514л4—0,817л3 + 2.432л*2 + 1,072л—0.833. V7 23 1.028л5 - 0,71 Зл4 - 1,072л 3 + 1,625л 2 - 3Л 84л - 1,546. V? 24 0.243л5 - 1.065л4 - 0.364л3 + 2.445л2 - 1.265л + 0,318. С! 24 0.831 л5 -0.722л4 + 1.157л3 + 1.615л2 - 2.844л - 0.685.

26 0.354л5 + 0.583л4- 1.072л3+ 1,548л2-2.436л-0,367.

м 27- 1.273л5 + 0.172л4 - 0.788л3 + 1.453л2 - 2,81 Зл + 3.154.

м 28. 0.421л5—0.544л-4 — 1.21 Зл 3 + 0,683л2 + 3,145л—0,185.

КЬ 29. 1.342л5 - 0,254л4 + 0.872л 3 + 1.273л2 - 1.483л + 0.584.

% 30. 1.418л5- 1.547л4 + 0.418л3 + 1.783л2-2.517л+2,434.

Образец выполнения задания Р (л )=0.883л5 - 1,217л4 + 1.452л3 + 0.572л2 - 2,343л +1,158.

Для вычислений по схеме Горнера составим таблицу, содержащую вес промежуточные результаты и значения искомого многочлена: V, (ШЗ -1.217 1.452 0.572 -2.343 1.158 0.50 0.883 -0.7755 1,06425 1.1041 -1.7909 0.2625 0.75 0.883 -0.5547 1.0359 1.3490 -1.3313 0.1595 1.00 0.883 -0,3340 1,1180 1.6900 -0.6530 0.5050 1.25 0.883 -0,1132 1.3104 2,2100 0.9721 2.3731 1.50 0.883 0.1075 1.6132 2.9919 2.1448 4.3752 1.75 0.883 0.3282 2.0264 4.1183 4.8640 9.6699 2.00 0.883 0.5490 2.550 5.6720 9.0010 19.1600

В верхней строке таблицы запишем коэффициенты я, данного многочлена, в первом столбце—значения аргумента х. Остальные строки содержат значения которые в схеме Горнера находятся по единой формуле: