Практикум по вычислительной математике (стр. 40 )

Задание. Используя метод Адамса со вторыми разностями, составить таблицу приближенных значении интеграла дифференциаль­ного уравнения г'=/(*. г). удовлетворяющею начальным условиям у(л0)=уо на отрезке [О, I]; шаг Л = 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Началь­ный отрезок определить методом Рунге—Кутта.

’= I +0.2rsin. v— у2. r(0) = 0 =cos (л+у)+0.5 (л - у), г (0) = 0. cos л

0.5г2. у(0)=0.

л-+ I

' = (I — г2) cos х + 0.6v. у(0) = 0.

’ = I + 0,4 г sin л - 1,5у\ у (0)=0

COS I „ „ ,

- + 0.3»-2. г(0) = 0.

л+2

' = cos(1. 5л + г)+ {л—у). г (0) = 0.

1 = 1 — sin (л + у) + ■ -. | (0)=0.

cos г т. .

—+0.1 г2, г(0)=0.

1.5+ \

' = 0,6sm Y — 1,25г2 + 1, у (0) = 0 =cos (2л+ г)+ 1,5 (л - г), у (0) = 0.

' = I---- —sin (2л+у), у (0)=0.

л" + 2

cos\ , . v

' = т~тт~-- 0.1 г. г(0)=0.

1.2:> + л '

'= 1 +0.8 г sin л —2 г2. г(0)=0

=cos(l,5v+ »)+ 1.5(л —г). г(0)=0.

'= 1 — sin(2.v+.r)+—^, »(0) = 0. СОМ’ -0.5г2. у{0)=0.

1,75+V

'= I + (1 - л) sin у—(2 + л ) г. г(0) = 0. '=(0.8 —у1) cos л+0,h\ 1 (0)=0 ' = 1 +2,2 sin л + 1,5г2. .г (0)=0.

' = cos (л+у)+0,75 (л* - у), г (0) = 0.

'= I — sin (1.25л:+,г) + —_г(0}=0.

л* + 2

COSl 0.3г2. г(0) = 0.

v+2

0.  1 г

" = 1 —sin (1,75л+у)ч——1у(0) = 0.

Т •*“

'“тfrv-0-5-1- ,(0>=а?

=cos (1,5.v+у)—2.25 (л+у), у (0) = 0. cos г

1.25у2. у(0)=0.

1.5+л

= 1 —(л — l)siny+2(.v+y). у(0)=0.

= 1 — sin (0.75.V — г) + ^ ^ . г(0)=0. ' л-+1

I ^5г

=cos(.v-y)+-^-, у(0) = 0. 1.5+л-

Образец выполнения задания у' = 1 + 0,2у sin х — 1.5у2 =/(.v. у): у (0)=0. .v е [0. 1 ]. А = 0,1.

1.  Определим значения yi=y(0, 1). у2=у(0,2) (начальный отрезок) методом Рунге - Кутта. При этом значения yt ¥ i =y(.v,+1), где л} |* t =л*,+Л, находятся по формулам

1 =у{ + Ду|,

I

Д.vi = g (*? + 2 it1» + 2Аг(^+),

где

*?=АЛ-У|+А. Л+А?)-

Все вычисления будем располагать в таблице (см. табл. I).

Таблица I .V .Ф-) sin. v 0.2v ■ sin х -1.5.V* fix. у) l;f(x. у) Ay 0 0 0 0 0 1 0.1 0.1000 0,05 0.05 0J0 0.05 0.0498 0.0997 0.0500 0.0500 0.0998 0.0005 0.0005 0.0020 -0.0038 -0.0037 -0,0149 0.9967 0,9968 0.9871 0.0997 0.0997 0.0987 0.1994 0.1994 0,0987 т 0.5979 (1/6) = =0.0996 0,10 0.0996 0,0998 0.0020 -0.0149 0.9871 0.0987 0.0987

.V	v(.v)	sin х	0.2 г • sin. v	-1 .Syz	./<V. у)	Л/(л\ г)
0.15 0,15 0,20	0.1490 0.1482 0.1968	0.1494 0.1494 0.1987	0,0045 0,0044 0,0078	-0,0333 -0,0329 -0.0581	0,9712 0.9715 0.9497	0.0971 0.0972 0.0950	0.11942 0.И944 0,0)950
							0,5823 (1'6) = 1 = 0^0970
0.20	0.1966	0,1987	0.0078	-0,0580	0.9498

2. Вычисление последующих значений г, = г(л\), где xt—лъ + Hh (/=3J 4. ...), производим по формуле Адамса со вторыми разностям^

Xi +1 = }'i + Ц\ + ^ ДЦг -1 + у~ Л2'/; - 2, где щ = А/ (.v,, у,-).

Вычисления производим в следующих таблицах (табл. II, III и IV), Табл. II содержит окончательные значения у(л',-) и значения конечны* разностей, имеющихся в вычислительной формуле.

1 аб л и на II / V, Л /{V(. Г() <л=л/. Л</, Л** 0 0 0 0.1000 0,10000 -0.00129 —СШ244 1 0,1 0.0996 0.9871 0.09871 -0.00373 -0,00204 2 0,2 0.1966 0.9498 0,09498 -0,00577 — 0,00154 3 0,3 0.2887 0.8921 0.08921 -0,00731 -0,00088 4 0,4 0.3742 0.8190 0.08190 -0,00819 -0,00035 5 0,5 0,4518 0.7371 0.07371 -0.00854 0,00008 6 0,6 0,5210 0.6517 0.06517 -0,00846 0,00049 7 0.7 0,5818 0.5671 0,05671 -0,00797 0,00067 8 0.8 0,6343 0.4874 0,04874 -0,00730 _ 9 0,9 0.6792 0.4144 0.04144 — _ . 10 1.0 0.7173 — — — _ В табл. III выполняются расчеты, со вторыми разностями. соответствующие формуле Адамса

Таблица III / 2 3 4 5 0.1966 0.28870 0,37418 0,45178 <7. 0.09498 -0.08921 -0,08190 —0,07371 -0,00186 -0.002^ -0,00366 —0,00410 ^Ч,-г -0,0102 -0.00085 -0,00064 -0,00037 .l’i+ 1 0.28870 0.37418 0,45178 0,52102

1	6	7	X	9
У1	0.52102	0.58177	0,63428	0.67924
41	0.6517	0.05671	0,04874	0,04144
I	-0.00427	-0,00423	-0.00398	-0,00365
5 — Д«, - ■» 12	-0,00015	0.00003	0.00020	0,00028
Xi * I	0.58177	0.63428	0.67924	0,7173!

В табл. IV производится вычисление значений функции

.V' =/ (-Y;, Yi ) = 1 + 0,2 Г, sin Xi - 1,5 V Г.

Таблица IV

■V,	У,	0.2 sin, v(	ОДг, si» .v,	-1.5.17	J (-Vj. ,l j)
0,3	0.2887	0.0591	0.0171	-0.1250	0.8921
0,4	0.3742	0,0779	0.0292	-0,2102	0.8190
0,5	0.4518	0,0959	0.0433	-0.3062	0.7371
0,6	0.5210	0.1129	0.0588	-0.4071	0.6517
0,7	0.5818	0.1288	0.0749	-0,5078	0.5671
0,8	0,6343	0.1435	0.0910	-0,6036	0.4874
0,9	0.6792	0,1567	0.1064	-0,6920	0,4144

Ответом являются значения функции y(.vf), полученные в табл. II.

Работа 5

Задание. Используя метод Милна, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения у=/‘(л\ у), удовлетворяющего начальным условиям г(л'о)=Уо на отрезке [0, 1]; шаг А=0,1; все вычисления вести с четырьмя деся­тичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге—Кутта.

Л® 1. v' = .v+r2, г(0)=0.5.

ЛЬ 3. г' = 2л-м*2, г(0) = 0.3.

№ 5. r'=0,2.v+ г2, v(0)=0.l.

Лй 7. y'=.v2 + 2r, г(0)=0.1.

ЛЬ 9. у' = л2 + г’, г(0)=0.7.