Практикум по вычислительной математике (стр. 32 )

2)  Пользуясь таблицей 2, определить значения функции г(л) при. vt = 1,5306 н. v2 = 1.5282.

1)  Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второю порядков:

X	sin л		л2>,
0,63	0,5891	0,0081	-0.0001
0,64	0,5972	0.0080	-0.0001
0,65	0.6052	0.0079	0.0000
0.66	0.6131	0.0079	-0.0001
0.67	0.6210	0,0078	—
0.68	0.6288	—	—

На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также

выполнение соотношения ^тах| Д2г,|< I0-4; действительно,

0,0001 <0,0001.

При вычислении пользуемся формулой

/(v)=/(-Vo)+^*A/(-Vo),

где </=(.v—л0)/А, а л0 — ближайшее значение в таблице, меньшее чем

0,  6682. Имеем. yo=0,66; г/=(0.6682 — 0.66)/0.01 =0,82;

sin 0,6682 % 0,6131 + 0,82 • 0,0079 = 0,6131+ 0,0065 = 0.6196.

Выберем теперь из таблицы косинусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

-V	COS Л'	л><	AV,
0,28	0.9611	-0,0029	0
0,29	0,9582	-0,0029	-0,001
0,30	0,9553	-0.0030	-0.001
0.31	0,9523	-0,0031	—
0,32	0.9492	—	—

Разности первого порядка практически постоянны, а также справед­ливо соотношение - шах|Д2г,-|< 10“4 (так как ^ 0,0001 <0,0001), что

8 , * 8

указывает на возможность применения линейной интерполяции. Полагаем до=0,30; тогда <? = (0,3033 — 0,30)/0.01 =0,33; значит,

cos 0,3033 * 0,9553+0,33 • (- 0,0030) = 0,9553 - 0,0010=0,9543.

2) Выберем из таблицы 2 разностей первого, второго и	несколько значений и составим таблиц^ третьего порядков:
	Л	Д.'-.	Лм,	л-V,
1.527	22,818	0,534	0.025	0.003
1.528	23,352	0.559	0.028	0.002
1.529	23.911	0.587	0.030	0.001
1.530	24.498	0.617	0.031	—
1.531	25.115	0.648	—	— .
1.532	25.763	—	—	—

В этой таблице разности второю порядка практически постоянны,

кроме того, справедливо соотношение — max | Д3г,-1 < 10 3 (так как

15 j

^ 0.003 <0,001: 0,0002 <0,001). Все это указывает на возможность!

применения квадратичной интерполяции.

Для вычислений воспользуемся формулой

/(-V) % .Го + Ц д. Го + *■ А2 у О,

где f/ = (.v—л'0)/Л.

Если *=1,5306. то. v0 = 1,530; *=(1.5306- 1,530)/0,001 =0,6;

/(1,5303) = 24,498 + 0,6 • 0,617 + аб*“°'4> - 0.031 = 24.498+0,3702 - 0,0037 =

= 24,8645.

Принимаем /'(1,5306) а: 24,864.

Если л= 1.5282. то л0= 1.528: </=(1.5282-!.528)/0,001 =0.2;

/(1,5282)=23,352+0.2 ■ 0.559+О'2*~°~8* • 0.028=23,352+0.1118 - 0.0022 =

=23.4616.

Принимаем /(1,5282)^23.462.

Работа 5

Задание. Используя интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя, вычислить приближенные значения функции г(д ) при данных значениях аргумента: 1) х = 1,60 + 0,006н: 2) .y = 1,725 +

+0.002«: 3) .V = 1.83+О. ООЗн; 4) л = 2-0,013и (и=1, 2. 3........ 30).

Функция г (л ) задана таблицей:

.V	Ф)	.V	.Ф)
1.50	15.132	1.85	43,189
1.55	17.422	1.90	48.689
1.60	20.393	1.95	54,225

X	.Ф)	.V	.Ф)
1.65	23,994	2.00	59.653
1.70	28,160	2.05	64.817
1.75	32.812	2.10	69.550
1,80	37,857

Образец выполнения задания

Л	.Ф)	X	Ф)
0,12	6.278	0,20	6,436
0,14	6.405 -	0.22	6.259
0,16	6.487	0,24	5,954
0,18	6.505

Найти значения функции г - /'(л) при следующих значениях аргумента:

I  ) .V = 0.168: 2) д =0.192; 3).v=0.204; 4) л = 0.175.

Составим диагональную таблицу конечных разностей функции /(лг): 'i .Ф,) АУ, Л-.i- Л3»’, х - _а = 0.12 Л -1 =0,14 .V _, =0,16 у. з = 6.278 г-2 =6.404 г_, =6.487 126 83 —43 -65 — 22 18 -69 До=0.18 \о = 6,505 -87 21 л, =0.20 л, =0,22 х3 = 0,24 V-, =6.436 г-. = 6.259 г_ з = 5,954 -108 -128 -177 -305 -20

Таблица заканчивается разностями третьего порядка, так как они являются практически постоянными.

1)  Для определения значения г(0.168) примем ло = 0,16; тогда, = (д - - д о )/А=(0,168 -0.16)/0,02 = 0,4.

Воспользуемся первой формулой Гаусса:

/ \ \ л /(/-1)., (/-ь!)/{/— I) ., r(.v) ^ Р{х)=у0 + /Л v0+——— А * г -1 + ---------------------------------------------- Ау-1.

3!

Находим

у (0,168) * 6.487 + 0.4 • 0.018+(|'4^(|'6> (-0.065)-»-|-40-^ °-6> х

х (- 0,022) * 6.487 + 0,0072 + 0.0078 + 0.0012 = 6.5032 % 6.503.

2)  Для определения v (0,192) примем ло=0,18; тогда /=(0.192—0.18) /0,02 = 0,6.

Воспользуемся формулой Бесселя:

И)-"-".,

+ - S Д v-i+ ... ■ v (0,192) ^ —05 ^ 6,436+(0.6 — 0,5) - (— 0,069)+°~6 (~°'4) х

х -0.087-0.108 | (0.6—0.5)-0.6‘(—0.4) . оо:,'.

2  6

*6,4705-0,0069+0,0117 + 0,0001 =6,4754*6,475.

3)  Для определения >'(0,204) примем л0 = 0,20; тогда / = (0,204 — 0.20) /0,02 = 0,2.

Воспользуемся формулой Стирлинга:

/ \ ,w \ Дг-|+Дго /2 а2 г(12~ 0 Д3г-2 + Д21‘-I

y(.Y)aP(.v)=i0 + /- - '2 - +у-А г-i +-^—-•■■■■' , ' . Находим

v (0,204)I * 6,436 + 0.2 • ~00692~0,177 + ^ • (- 0,108)+ , 0.2 (0,04-1). -0,021-°-?г2д.6436_ 0 0246 _ 0,0022 + 0.0007=

6 2

=6,4099 *6,410.

4)  Для определения г (0,175) примем ло = 0,18; тогда / = (0,175 — 0.18) /0,02 =-0,25.

Воспользуемся второй формулой Гаусса:

у (л*) * Р (л-) = vo+/ A v -1 + Д2 v -1 + *■ Д3;? - 2 •

Находим

1- (0,175) а 6,505 +(- 0,25) - 0,018 + 0-75'(-°-25). (_0,087) +

+°-75'(~0-25)(- 1-25) •(_ 0,022)« 6,505 - 0,0045 +0,0082 - 0,0009 =

=6,5078 st 6,508.

Работа 6

Задание. Вычислить значения функции при заданных значениях аргумен­та, используя интерполяционную формулу Ньютона для нерав­ноотстоящих узлов. При вычислениях учитывать только разде­ленные разности первого и второго порядков. Вычисления про­вести дважды используя, если это возможно, различные узлы

X	№ Ва- pllUIITU	Vi	л»
0.298	3.25578	1	0,308	0.335
0.303	3,17639	7	0.314	0.337
0.310	3,12180	13	0.325	0,303
0,317	3.04819	19	0,312	0,304
0,323	2.98755	25	0,321	0,336
0.330	2,91950
0,339	2.83598
	Т аблица	3
х	у	№ ва­	Vi	л>
		рианта	Л 1
0.698	2.22336	3	0.720	0.775
0.706	2,24382	9	0.740	0.705
0,714	2.26446	15	0.750	0.777
0,727	2.29841	21	0,765	0.700
0,736	2.32221	27	0.755	0.704
0,747	2^35164
0,760	2.38690
0.769	2.41162
0.782	2.44777
	Т аблица	5
X	.г	№ ва­	-V,	.V»
		рианта
0.235	1,20800	5	0.238	0.257
0.240	1,21256	11	0.261	0.298
0,250	1,22169	17	0,244	0.272
0,255	1,22628	23	0,275	0,303
0,265	1,23547	29	0.268	0,292
0,280	1.24933
0,295	1.26328
0.300	1,26795
0,305	1,27263

.V	у	№ ва­рианта	'1
0.593	0.532050	1 л*	0.608	0.630
0.598	0.535625	8	0,615	0.594
0,605	0.540598	14	0.622	0,596
0,613	0.546235	20	0.603	0.631
0.619	0.550431	26	0.610	0,628
0.627	0,555983
0.632	0,559428
	Табли на	4
V		„V.* ва­	■Vi	Д'-э
		рианта
0,100	1.12128	4	0,115	0.160
0,108	1,13160	10	0,124	0,162
0.119	1,14594	16	0.130	0,164
0.127	1,15648	22	0.140	0.104
0.135	1,16712	28	0.150	0.102
0,146	1.18191
0.157	1.19689
0.169	1,21344
	Таблица	6
х	|’	jVj ва­	Va	Л',
		рианта
0,095	1.09131	6	0.105	0.114
0,102	1.23490	12	0.103	0.117
0.104	1.27994	18	0,109	0.115
0,107	1.35142	26	0,108	0,100
0.110	1,42815	30	0.111	0.118
0,112	1,48256
0.116	1,60033
0.120	1,73205

Образец выполнения задания