Практикум по вычислительной математике (стр. 46 )

4.  Вычисляем значения ип по формуле un =-{fi+i+fi-i) +ЛФ(, где

/f+i и f. l берутся из первой строки таблицы, a Of=(*f + 0,4)cos(A'i+0,3); л,-=0,1/ (/=1,2, ...„ 9); Л=0,1. результаты записываем во вторую строку таблицы.

5.  Вычисляем значения ии в последующих строках по формуле Mi. j+1=«J+1>i+M|_lti—Wj. j.j, где значения ui+l J, Uij-i берутся из двух предыдущих строк таблицы*

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Элементарная i сория погрешностей

I  . Формулы точною нолсчсш iioipeniHocieii

аб. 1 /ч\

о (</ + h) = —1—-—: 1 (« ± />) ■= ia + п. ь: а±п

6(ah) = би ь 6„: т.(ah \ = ah(6u - <\ ) = Ъъа 4 ait:

(а \ (а\ а. hi..1ai. h

= Чл) = А<Л- + Ль,:

6ian) = m6, ’

yiam ) — m ■ am 1 7(1; m рациональное число.

Здесь tl абсолютная noipciiinocib приближенною числа: б относительная noipciiiHocib приближенною числа.

2  . Таблица относительных погрешностей чисел, имеющих /; верных знаков в утком смысле (в %)

II	1		3	4	5	6
1	50	5	0.5	0.05	0.005	0.0005
*?	25	2.5	0.25	0.025	0.0025	0.00025
3	17	1.7	0.17	0.017	0.0017	0.00017
4	13	1.3	0.13	0.013	0.0013	0.00013
	К)	1.0	0.1	0.01	0.001	0.0001
6	S.4	0.84	0.084	0.0084	0.00084	0.000084
7	7.2	0.72	0.0072	0.0072	0.00072	0.000072
8	6.3	0.63	0.063	0.0063	0.00063	0,000063
9	5.6	0.56	0.056	0.0056	0.00056	0,000056

Чдесь ат первая значащая цифра приближенною числа, считая слева направо.

Л л 1 е б р а м а ( р и н

1  . Определители. Onpedc. nune. th нпюро.'о порядка

«л «12 Й>1 II >2

Onpvdc. nitnc. ih mpcnihc.'o порядка

— «I 1«2 2«3 1 Т U\ 2«2 Д« '1 '*“ «I 3«2 I «32 — «I 3«2 2«31 — «I 2«2 1«33 — «11«23«32-

2  . Нормы матрицы

I «i 1 « I 2 «13 _j j «21 «22 «2 3	«1 п «2л

 

Первая норма |j.-l ||, = max ^ !«,;|.

Вторая норма \\А ||,, = шух £ \ац\-

1

Третья норма \\А ||т = \/

3  . Обратная матрица А 1 для данной кнадратпой неособенной матрицы А находится по формуле

глс Д определитель матрицы А: АК} алгебраические дополнения соответству­ющих элементов матрицы А.

4°. Формулы для обращения клеточной матрицы

<т

,7*1 L\ \Л/ I NJ

Обратная матрица ищется в виде клеточной матрицы

S

а) Если легко определяется матрица А то К=А 1 — A lBM. L = A ХВМ. М = — NCA ~1, N=(D-CA~lBy

б) Если легко определяется матрица D~1, то К=(/1 — BD~1С)"1, L——KBD~1. I M=-D~lCK, N=D~l — D 'CL.

5°. Обращение матриц методом окаймления. Пусгь

чг - ;>

где U„ --столбец. V„ - строка, а„„ — число. Обратная матрица А„ 1 ищется в виде!

•■,"1=(Л”‘ г" ).

\4л 1/Ои/

где

I 4 '1

*  ,1 а

</« = -

, А„-\ иЛ’А^г Рп-х = А.'J, +—--- п——■

Каждый лап обращения осуществляется по схеме

Ап-\		-А;\ип
К	«лл
~УпАп-\	1	*л

6°. Обращение матрицы с помощью разбиения се на произведение двух треугольных матриц. Пусть

/|1 0 0 ... О \ /I 112 t IS fin' : 7*2 = 1

< т т nr It 21 ?22 О...О I >т> [ О I ^2Д ■ • • ^2п

А = / j / 2. 1ДС / | =' I j _|

к0 О О

Обратная матрица ищется в виде А ~1 = Т2 1 Т1.

7°. Исправление элементов приближенной обратной матрицы. Пусть для мат­рицы А найдена приближенная обратная матрица D0, причем ||/: —Л£>0|| < I. Строят последовательность матриц D0. Dl Dm:

/>о. D (= Dq + DqI" q. D2 = /)[ + /)[.	F0 = E-AD0, F i — E—ADx =Fi, f2=e-ad,=f\.

 

Dm = DM-x + Dm. xFm-x. Fm = E-AD„ = Fi-x.

Вычисления продолжают до тех пор, пока с заданной степенью точности все элементы матриц D„~ х и Dm не совпадут.

Методы решения систем линейных уравнений 1°. Формулы Крамера. Пусть дана система « уравнении с неизвестными:

tf| i-V| + «12*2 + + «1я*в = ^1*

«21*1 + «22*2 + *” + «2я*п = ^2*

а„, х, + а„ 2х2 + + «л„ хя=Ь„.

Если определитель системы отличен от нуля, то ее решения находятся по формулам

	_Дм	м <  *	1 * у <  J	1 > 1 3
*1	>  1	■VI	д *	■'3 А ’ я Д	Д *
	«и	«12 •	• * «1я
д=	«21	«22 ■	«2я	*0	определитель	сисгсмы.
	«Ш	«и 2 ■	-- «ЯП

	hi	«12	*•■ «1 в		«и	Ь1	«1 Я		«и	«12	... />,
Дч =	b2	«22	• -■ «2я	’ Д*2 =	«21	Ьг	• - - «2я	.... д_ = л	«21	«22	... Ь2
	К	«я 2	1 •		«Я1	К	■ - ■ «яя		«Я1	«я 2	■ * ■ К

дополнительные определители доя л*,. х2...................... л„.

2  . Схема едниствеиното деления (схема Гаусса) для решения сисгсмы уравнении (на примере системы четырех уравнений)

«11 *1 +"12*2 + «13*3 +«14*4 = «1 5.

«21 *1 +«22*2 + «23*3 +«24*4 ~«25- «31 *1 +«32*2 +«33*3 +«34*4 = «35>

«41 *1 +«42*2 «43*3 +«44*4 =«45-

Решение прошполится е помощью таблицы:
Коэффициенты при псижсоиых	Свободные члены	Конт рольные суммы ^
-V,	.V»	v3	4
«п «21 «31 «41	«12 ^22 «32 «42	«13 «23 «33 ‘*43	«14 «24 «34 «44	«15 «2 5 «3 5 «4 5	‘i (’ 2 <3 «4
1	*12	3	5,4	«1 5	P,
	« 22 « 32 «42	«23 « 33 «43	«24 «'l4 « 44	«25 «35 «4?	r t 4
	1	*:з	Ot 14	7 i 5	P:
		« 33 « 43	« 34 « 44	«35 «45	Г* о r. l t'4
		1	«34	«35	Рз
			■>*# «44	frr « 45	ttr <4
			1	^4^	p*
			1	v4	■V4
		1		v3	V3
	1			Д >	\\ ■
1				'l	'1
Вычислительные формулы	Контрольные соотношения
5 <i= I «а (1= 1. 2. 3. 4) }= 1
a(/=2,3.4. 5): Рг =с, ,'fi|	1 - f-а, 2 - гО[13-Ьа14тЯ, 5 = p,
«.1аи (< = -' 3. 4: / = 2. 3. 4. 5); rj = c-,—«п Pi (/ = 2,3.4)	«12+ « r3 + « «4 + « i5 = f i (/—2, 3. 4)
a2j — «2j/«22 0 = 3.4, 5); P2 =Ci;'ff2i	1 rl2? + '3t24+'5t:5 = P2
(iij = a’jj—a'i2^2j (/ = 3. 4: ,/=3. 4, 5); «■r = «,J-e'i2pl 0=3. 4)	« i3 + '^4 + « .'5 = ‘ i (/ = 3, 4)
^з; = « з;,'« 33 (/=4.5): P3 = fj/tf'ij	I + Л34 + 0^3*; = P,

ВЫЧИСЛИ ЮЛЬНЫО формулы	Кон грольныс соотношения
tiij = о 4>— « 43 *з; U=5); г*Г И tr I) <’4 =<‘4—«43 |»	/и, nt r*r U 44 Ь О 45 — <’4
frr ГЖ* A ftt. erf *45 ~ « 45 « 44» 1*4 = i' 4 и 44	1 Ь*45 = р4
v4 = 745	1 +Л-4=Л'4
л3 = я.,5-а. и.\'4	1+Л3=А‘з
AS = 7^5 — *24Л4 — *23-'\i	1 + Y, = .Y,
.Ь = p2^-4-'*4 — ^M-Vj -V, = 3t 1 5 - *14-V4 - * 13 A, - 2 1 * A, VI = Pi -^i4-v4-ai. i.v,-0t,3.v2 Л*3 = Pj — * 34-*4 *4 = p4	1 - V, = .Yt

3°. Схема Халсцкого для решения сие гемм уравнений v, Л2 Vi *4 Свободные члены Koii грольныс суммы Y. «11 «12 «13 «14 «15 <1 «21 «22 «23 «24 «25 f’2 «31 «32 «33 «34 «35 «3 «41 «42 «43 «44 «45 t'4 />11 1 *12 3,3 *14 *15 Pi *2. />22 | 1 *2 3 *24 *25 Р2 /’31 /J32 />33 1 *34 *35 Рз />4, • />4 2 />43 /’44 1 *45 Р4 1 Л-4 А*4 1 Y3 Л'З 1 Л'2 х2 1 v, -V.

Вычисли 1СЛ1.НЫС форму;1ы	Koii грольныс соотношения
5 r,= I а„ (i=l. 2. 3. 4) j «
/>ii=«ii (/=1. 2. 3. 4); «,; = «,; «н {j= 2. 3. 4. 5): Pi=r, />,,	1 +*,2+*,3 + G(l4 + a,5 = Pl

Продолжение
Вычисли голыше формулы	Контрольные соотношения
Ь(2 — 0ц—*n«i2 (i=—• 3. 4): «2;=(«2;-*2i«u)*22 (./'=3. 4. 5): <'2“*21P1 р, — *22	• + «23 + «24 + Я25 = р2
*i3 = «i3-*ii«i3-*i2«23 0‘=3. 4): «3y = («3j — *31«ij—*32«2j)/*33 (./'=4, 5); Рз=(<'з—*3i Pi — *32рг)/*зз	1 + «34 + = P,
/>44 = ^44 —/>4 I 0t|4 — *42«24 — *43«34 (* = 4): «45 = г — («45 - />41«15 - />42 oe25 - />43 x»5) (j=5): Л44 P4=7—(<4 “*41 Pl — *42 P2 — />43 Рз ) •>44	1 + «4S = P4

Значения неизвестных определяются по формулам единственного деления.

4°. Обращение матрицы с помощью схемы Халецкого. Пусть матрица А с помощью схемы Халецкого разложена на произведение двух треугольных матриц: А —ВС. Обратная матрица ищется в виде А -| = £) = [а|;]: