Практикум по вычислительной математике (стр. 33 )

Определить значения функции у (л) при следующих значениях аргумента: I) л, =0,112: 2) л, =0,133.

Вычисления производим по формуле

.r(.v)*r„+/(-Vo. - V,) (.V-.V0) +/(.V0. .Y,, - V2 ) (а — А0) ■ (л — - V! ).

где.

./( V *i)-—:—:—: ./('V -v,, л*2)=

.Vj Л'I) Л; Л'о

Предварительно вычислим необходимые значения разделенных ра: ностей.

V,		/(-V.. ,V|. , )	./(■V|. .Vj■* i. Л| , i)
о. юз	2.01284	4.116	-18.238166
0.108*	2.03342	3.896142	-16.761833
0,115	2.06070	3.6%	-14.788461
0,120	2.079 IS	3.503750	-13.281250
0,128	2.10721	331250	-11.942307
0,136	2.13354	3,136	—
0,141	2,14922

1)  Найдем значение /(О,112) двумя способами, взяв за л0 сначала]

0,  103, а затем 0,108:

/(0,112)^2.01284 + 4,116-{0.112-0,103) + (-18.238166)-(0,112-0,103)х

х(0,112 —0,106) —2,01284 f 0,037044-0,000657 = 2,04923;

/(0,112) % 2,03342 + 3,897142 ■ (0.112 - 0,108) + (- 16.761833) - (0.112 - 0,108) х

х (0,112 - 0,115) = 2,03342 + 0,0155S9 + 0,000201 = 2.04921.

Принимаем /(0,112) sr 2,04922.

2)  Значение /(0,133) также опрсдепим двумя способами, взяв за л0 сначала 0,120, а затем 0.128:

/(0,133) % 2,07918 + 3,50375 • (0,133 - 0,120) + (- 13,28125) ■ (0,133 - 0,120) х

х (0,133 - 0,128) = 2.07918 + 0,045549 - 0,000863 = 2,12387;

/(0,133) % 2,10721 + 3,29125 ■ (0.133 - 0,128) + (- 11,942307) • (0,133 - 0.128) х

х (0,133 - 0,136) = 2,10721 + 0,016456 + 0,000179 = 2,12385.

Принимаем /(0,133)^2,12386.

Глава VIII ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Работа 1

Задание. С помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично.

.V	Г (Л )	.V	v(v)
2,4	3.526	3.6	4.222
2.6	3.782	3.8	4.331
2.8	- 3.945	4.0	4.507
3.0	4.043	4.2	4.775
3.2	4.104	4.4	5.159
3.4	4.155	4.6	5.683

1) 2) 3) 4)

(«= I. 3. 5, 7........... 29).

Таблица 2 .V H. v) Л. .V r(-v) 1.5 10.517 4,5 8.442 1) д = 1.6 +0.08м: 2.0 10.193 5.0 8.482 2) л = 3.27 + 0.Пн: 2,5 9.807 5.5 8.862 3) л = 6.3 — 0,12л: 3.0 9.387 6.0 9.701 4) .V = 5.85 - 0,09» 3.5 8.977 6.5 11.132 (и = 2. 4. 6. 8........ 30). 4.0 8,637 7.0 13.302

Образен выполнения .V i(.v) .V y(v) 0.8 2,857 2.4 6,503 1.2 3,946 2,8 7,010 1.6 4,938 3.2 7,288 2.0 5.801 3.6 7,301

задания

Найти значения первой и второй производных дан­ных функций при: I) л, = 1.2;

2)  as = 2.23; 3) .v, = 2,76; 4) .г4 = ЗЛ.

С оставим диагональную таблицу конечных разностей данной функции: -V V(.V) A. Vi Л-v. АЛу, 0,8 1.2 1,6 2.0 2,4 2.8 3,2 3,6 2.857 3.946 4.938 5.801 6.503 7.010 7.288 7,301 1.089 0.992 0,863 0,702 0,507 0.278 0.013 -0.097 -0.129 .-0,161 -0.195 -0,229 -0.265 -0,032 -0,032 -0,034 -0,034 -0.036

1)  Положим д0=1,2; тогда / = (л — л0 )//; = ( 1.2— 1,2)/0.4 = 0. Восполь­зуемся для вычислений формулами

/(,.)* ДАУо~ ^Аг.1о+ “А3.|'о+ --)• .'"(л0)~А(А2.г0-Л3г0+ • ••)•

/Г

получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

у’ (1.2)* — ■ (0.992 + ^ • 0.129 - - 0.032^ = 2.5 • (0.992 +0.0645 - 0.0107)=2.614;

0*4 \ 2 3 J

.Г (1,2) - 0. IJ9 + 0.032)=0.606.

0*4

2)  Положим до = 2.0; тогда / = (2,23 -2.0)/0.4=0,575. Воспользуемся для вычислений формулами

3,2_3/+!

Y  1/ 2t— I Д2г_, + Д2г0 Л 2 . \

у М^Да,0+ — • 2 +-------------------- А. I1., +

, I /Д2г-1+А2»о 2/-1 А,. \

(у)Ы—. + •••}

получающимися из формулы Бесселя.

Находим

1 1л5“1 -0.161-0,195 0,992-1,725 + 0,5 , /(2,23)*--(0.702+ — - + ----------------------------------------- --(-0.034)=

= 2.5 (0,702 - 0.0134 + 0.0013) = 1.725. «л.,,» 1 (-0.161 -0.195 1.15-1 , „„„Л У (2.23)j 2 + ' (- 0.034)J = = 6.25(—0,178—0,0026) = - 1,129.

3)  Положим Л‘0 = 2.8; тогда I = (2,76 — 2.8)/0.4 = — 0.1. Воспользуемся формулами

. 1 /Дг^ + Дго А, 3f2— I Д31'-,+Дэг., \

’’ (v)*a(-V^ +'•Л^- > + — ■ 2 + ~}

\ 1 (а 1 Д'\_, + Д3г_, \

У (л-)^(Д2г_, + 1— —— +

получающимися из формулы Стирлинга.

Находим

I ( 0.507 + 0.207 Л1 0.03-1 -0.034-0.036 \

+0..-0,229+ — —) = = 2,5 -(0.3925 + 0.0229 +0.0057)= 1,053, г" (2,76) * - 0,229 - 0,1 • ~°~°34?~0-036 J = 6,25 (-0,229+0ДО35) = -1,409.

4)  Положим л0 = 2,8, тогда / = (3^-2,8)/0,4=0,75. Воспользуемся формулами

,/ » 1/д 2,-1 3/2 —1 ^ \

У (л-)-(Лг0+ —— А‘г_! + —— А3у_i + ..Л

>*4v)ft! A(A2>,-i+fA3>'-i+ •■■)»

/I *

получающимися из первой формулы Гаусса.

Находим

г' (3.1) =г — ■ (о,278 + 1 — • (-0,229) + 1-6875.(_0.036) =

0.  4 \ 2 6

= 2,5 • (0.278 - 0.0572 - 0,0041)=0,542: г" (3,1) a • (—0,229+0,75 ■ (- 0.036) = - 1.600.

Работа 2

Задание. 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямо­угольников при и= 10. оцещшая точность с помощью сравнения полученных результатов.

2)  Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при н, = 8: //, = 10.

о. в

Л4 1. 1) С y/x2 + Sdx J 2.v+ /л2+ 0,5
о. ь 1,2

 

1) С y/Q,5x + 2dx J 2.v2+1+0.8’
Ла 2.
0.4 1.8
1) f v/Q,8.y2 + 1 dx J л+ v/l,5.v2 + 2
Лв 3.
0.6 1.3

 

0 4 1.5

 

cos (v2 + 0.6) dx J l,2+sin(0,7.v + 0.2) 0.5