Практикум по вычислительной математике (стр. 4 )

Последовательно находим:

0  -1

1  1

-О DC •:)-(!■:>

*«-■*-(r:)0

). W=^_JQ _5^ i Д = — 100: /l, i = —5: Al2=\0; A21=9; A22 = 2;

7. L= - A ~1 BN= — H. M = —NCA _1 = - 9. K=A ~l — A “1 BM =

 

-42/100 32/100 14/100 -4/50
11/100 -6/100 13/100 7/50
10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

Работа 2

Задание. Обратить матрицу методом окаймления. При выполнении работы воспользоваться вариантами работы 1.

Образец выполнения задания н ! 11 3 4 \ -10 3-2 1 2 1 2 3 1 V 12—1 1/ Пусть Ап = (^"1 следующей схеме: Л л-1 иЛ К Опп ) ип !аждый этап процесса выполняется по Уп ^пл где =«„„+(- V„A~- )Va.

Элементы обратной матрицы вычисляются по следующим формулам:

г и. fni К. У„к, Р in f ^

"ik “ № "I • "nJi » Щп * “пл •

ая ял а„ зсл

где р 1 „, р2и........ Р« -1. „ - элементы столбца (- А “-[1], U„): у„ t,

у„2.... у„.„-1 —элементы строки (— VnA„-i).

Обращение матрицы четвертого порядка выполняется в три этапа; их результатами являются матрицы /4 J1, /1J1. А*1.

Вычисления следует оформить в таблицу, содержащую результаты всех промежуточных действий:

-А Г1U2

А[1	1	1	-1
V2	-1	О22 ~ 0
У2Л г1	i		^2~ 1	-a;1u3
а;'	0	-1	з	3
	1	1	3	-6
V,	2	1	«зз = 2
Уз AV	-1	1		«з = 2	-Ai'LU
	-3/2	1/2	3/2	4	23/2
AV	4	— 2	-3	_2	-29
—1/2	1/2	1/2	-3	9/2
У*	I	2	-1	«44 = 1
	-7	4	5		эс4 = — 50
	И 100	-21/50	7 20	— 23 100
а	-3.50	8/25	-1/10	29/50
	13'ЮО	750	1/20	-9 100
	7/50	— 2 25	-1/10	-1/50

Рядом с матрицей А 1 запишем окаймляющие ее значения V2 U взятые из данной матрицы. ' 2’

2.  —Л Г1 6'з= -(1)(1) = (- 1) = (р12).

3.  - УгА Г 1 = —(— 1)(1)=(1) = (У21 )♦

4.  ЭЬ = ^22 "М — УтА 1 1 t/2) = 0 + (l)(l)= 1.

5.  По приведенным выше формулам найдем элементы матрицы M'=Wu)- -

,/,,^1+ltiLo; (/,,=-L=-l: rf21=|=}; </,,=1=1.

]( п ап. 1. Рядом с найденной матрицей A J1 выписываем из данной матрицы А окаймляющие значения {/3, К3, л33.

* --“-С -DGHJHfc)

3.  -к,.4 г = -(2: 1)Г| !)=(-!; 1)=|?>ь У32)•

4.  23 = г/33+( — VъА 2 1 £/з)-

Произведение - A 2l (J3 найдем двумя способами, что можно использовать для проверки правильности вычислений:

(-1'зЛ,“‘)t/3=(-L; -3+3 = 0;

Iз( —Л г 1 t/j)=(2: l)f ^J=6—6=0.

Таким образом, а3 = 2 + 0 = 2.

5.  Найдем матрицу /1 3 1 =(</,,):

,/,,=0+^=-^; rf12 = -!+]_!=!; (/21 = l+t_L)±^)=4;

</„ = !

— 3/2 1 ‘2 3/2 \ /10 0 4 -2 -3 = 010 |.

2  1 2/\ —1/2 1/2 1/2) 0 1

К

III этап. Все вычисления аналогичны проведенным на предыду двух этапах.

1.  Выписываем окаймляющие значения С/4, К4, а44.

/-3/2 1/2 3/2 \ / 4\ / 23/2 \ /р14\ 2. — /1 з 1 С/4 = — ( 4 -2 -3 -2 = -29 = 024 . V-1/2 1/2 1/2/ V-3/ \ 9/2/ VfW / —3/2 1/2 3/2 \

3.  -VtAj' = -(U2- -1) 4 -2 -3 }=( —7; 4; 5).

\ - 1/2 1/2 1/2 /

4.  а4 = я44 + ( — 3 1 (У4);

(— Л з 1) fy4 = ( —7; 4; 5) -2 = -28-8- 15= -51;

\ -3/

f 23/2 \ 93 9 Г4(-Л J1 (У4)=(1; 2; -1)1 -29 1 = у-58--=-51;

а4= 1 - Ь (— 51)= —50

5.  Найдем матрицу А 4 1 =(</ц):

(! - 3 .(-7)(23/2)_ И. ^1 4(23/2)^ 21.

11  2 -50 100’ 12 2 -50 50’

, 1 5(9/2) 1-7 7.4 2 , 5 1

(ii 2+-50~20’ 41 ~ —50 50’ 42~ — 50_ 25' '43“-50~ То’

1  1 . 2Щ_ 23 -29 29 9/2 9

и44 “ ^ н I л * 1 л «24 ^ ■ * ц ял t

-50 50 -50 100 2 -50 50 3 -50 100

Итак,

0Л1	-0,42	0,35	-0,23 \
0,06	0,32	-0,1	0,58 \
0,13	0,14	0,05	-0,09 1*
0,14	-0,08	-0,1	-0,02/

Этот результат совпадает с матрицей, найденной в предыдущ работе.

Работа 3

Задание. Обратить матрицу методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц. При выполнении работы вос­пользоваться вариантами работы I.

Образец выполнения задания

II  3 4’

-I 0 3 -2 I 2 2 2—3 12-1 I

Решение состоит из следующих этапов:

I Представление матрицы А в виде произведения А = ТхТг, где

Т\ и 7\ — треугольное матрицы.

II.  Обращение матриц Ту и 7\, т. е. нахождение матриц 7*f1 и Т21

III.  Нахождение искомой матрицы А 1 с помощью умножения

А -‘ = 771771

найденных матриц: А ' = I 2‘* i.

I.  Для отыскания матриц Тх и Т2 используют схему

суммы. Элементы схемы находят в следующем порядке: 1 / I 1 = ^ 11 ч bl = ®211 *31 =«31- ^41 «41 •

Контрольное соотношение: Л = 1 +г12 + г13 + гы.

X 122=а21-121Г22', /32 = «32-/31Г12; '42-“42 Ul Гц-

А «23 — ^21г13 «24 ^2 I ^*14 , <-2~ *2\С\

4.  Г23------------ \ Г24- —--------- 1 С2 —-------- ■

tz2 ^22 /22

Контрольное соотношение: сг— I +г2з + г24.

5.  *33=«33“ ^31 г 13 — /32r23i ^3 = «43 — Ul^l3 — UlrlZ-

r «34 — Лп*"14 — /з2г24 , *3 — *31 £' I — /32<*2

6.  г34=-------------- ; с‘з =------------ .

^23 ^33

Контрольное соотношение: с'з=1+гз4.

7.  /44 = ^44 — ЛцГ14 ^42 24 ^43^* 34»

, <’4_/ц f'— /4.2 f 2 — /43*-3

Контрольное соотношение: 64=1.

Из найденных элементов составляют матрицы

/tu 0 0 0 \ / 1 Г12 г13 г14\

Т —I *21 *22 О 0 1 т _| 0 1 Г23 **24 \

/ 1 - /31 /32 /33 О Г /2_ 0 0 1 Г34 I

\ /41 /42 /43 /44/ \ 0 0 0 0 /

В данном случае имеем

Элементы матриц	I ;
1	1	3	4	9 1
-1	0	3	_2	0
1	1	2	-3	2
1	2	-1	1	з
1 1	1	3	4	9
-1	1 1	6	2	9
2	-1	2 1	-4.5	-3,5
I	1	-10	-50 1

/22 — 0 — (— I) -1 — 1^ /32 — 1— 2 ■ 1 — — I; /42 — 2—1*1 — 1,

(контрольное соотношение: 1 + 6 + 2 = 9 = с2 );