Практикум по вычислительной математике (стр. 52 )

* V 1« /

кой. Вычисления продолжают до выполнения условия | г„—г„-1 |^е/2, где с заданная точность. Регистры памяти содержат: л-»ПЛ; у-»П1. Первоначально в зти регистры заносят л-»Г1Л: у()->П1.

Программа вычислений: ИПЛ: |: ИП1; /\2: - к ИГП. 2: х; 4-: 3; - г; П1; с/п.

5‘. Инги рированне но формуле Симпсона. Эта формула имеет вид

*

/ (л ) dx * - ( г0 4- 4 v, 4- 2 v2 4- ... 4- г„).

3

Здесь н = 2к. г|=/(л1). л,-—a + ih (/=0. 1. 2....). h-(h-a) п.

Рассматривают программу вычислений по формуле с фиксированием номера функции в процессе вычислений. Значения a, h, п. Л. л,. /(л;) заносят в регистры памяти: </->Г1Л; Л-*ПВ; н-»ПС: А-*Г1Д: л,-*ГИ; /(л,)-»П2: /-*114.

Программа вычислений: ИПВ. |; ИПЛ; « —»; ИПС: - г-: ПД; ИП1; ... ИП2; ПЗ; с/п: ИП4; I: +; П4: с/п: ИГП; ИПД; 4-; III: с/п; ИГП. ...; ИП2: Т; 4; х; ИПЗ; +: ПЗ; ИГ14: ]: I: 4-: П4; с/п: ...: ИП2; ]: 2; х: ИПЗ: 4-; ПЗ; ...: ИПЗ; 3; ИПД; л; с п.

Программа предусматривает наличие подпрограммы для вычисления значений функции /(.V,). а также повторение отдельных ее фрагментов, зависящих от номера /.

6°. Приближенное решение шфференциально! о уравнении у' — /[х. у) методом Эйлера — Коши. Этот метод предусматривает наличие условия у(«)=г0: тяга Л, отрезка [«. />]: применение (формулы

/ h.

.*1+ I — ,1'г4--( fi+Ji • 1 ),

Iде Ji-i-/‘(.Vi. |. Viм ), Vi. | = Vj4-hf.

Регистры памяти содержат: л,-*ПЛ; г,—*Г1В: f{x,. г,-)-» ПС: Л-»Г1Д; /}. t —*П 1. Программа вычислений: ИПЛ: |; ИПД; 4-. ПЛ: си; ИПС; ИП1: 4 ИПД: х. 2; -; ИПВ; 4-: ПВ; с/п.

Приведенную программу следует пополнить программой вычисления значений.17+1 и 1-

1.  . Дай ил она Л Н. Практикум но численным мето­дам. М.; Высш. школа. 1979.

2.  . Дубровская II. С.. . .Смирнов » математика. М Высш. школа. 1985.

3.  Демилоннч В Г1.. Марон вычисли! елмюи математики. М.: Наука. 1970.

4.  . . Шувалова'3. 3. Численные методы анализа. М.: Наука. 1968.

5.  Г1. Справочник но расчетам на микрокалькуляторах.- М.: Наука. 1986.

6.  К о п че нова Н В.. Марой математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

7.  Пух паче» Ю. В.. Да и и лов для всех. М.: Знание. 1986.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие..................................................................................................................... 3

Глава I. Элементарная iсория погрешностей

Работа /. Определение абсолютной и относительной погрешностей при­ближенного числа. Верные цифры числа...................................................................................................................... 4

Работа 2. Действия нал приближенными числами. Оценка погрешностей

результата......................................................................................................................... 6

Глава II. Алгебра матриц

Работа I. Обращение матрицы методом разбиения се на клетки............................... 13

Работа 2. Обращение матрицы методом окаймления................................................ 15

Работа 3. Обращение матрицы методом разбиения ее в произведение двух

треугольных матриц....................................................................................................... 19

Глава III. Методы решения систем линейных уравнений

Работа I. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

и с помощью обратной матрицы................................................................................... 22

Работа 2. Решение систем линейных уравнений по схеме Гаусса.............................. 32

Работа 3. Обращение матрицы и вычисление определителя по схеме

Гаусса.............................................................................................................................. 35

Работа 4. Решение системы линейных уравнений методом главных элемен­тов...... 39

Работа 5. Решение системы линейных уравнений метолом квадратных

корней............................................................................................................................. 41

Работа 6. Решение системы линейных уравнений по схеме Халецкого..................... 43

Работа 7. Обращение матрицы по схеме Халецкого с уточнением се

элементов....................................................................................................................... 47

Работа в. Решение системы линейных уравнений методом итераций....................... 49

Работа 9. Решение системы линейных уравнений методом Зсйделя........................ 52

Глава IV. Вычисление значений элементарных функции

Работа I. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера................................................. 54

Работа 2. Вычисление значений функции методом разложения в ряд.... 56

Работа 3. Вычисление значений функций методом итераций.................................... 58

Глава V. Методы решений нелинейных уравнений

Работа /. Графическое и аналитическое отделение корней нелинейного

уравнения. Уточнение корней методом половинного деления..................................... 61

Работа 2. Уточнение корней уравнения методом хорд.............................................. 65

Работа 3. Уточнение корней уравнения методом касательных.................................. 68

Работа 4. Уточнение корней уравнения комбинированным метолом хорд

и касательных................................................................................................................. 69

Работа 5. Решение уравнения методом итераций....................................................... 72

Работа б. Решение систем нелинейных уравнений методом итераций и ме­тодом Ньютона 74

Работа 7. Решение алгебраических уравнений методом Горнера.............................. 79

Решение алгебраических уравнений метолом Лобачевского.................... 81

Работа 9. Решение алгебраических уравнений методом выделения квадрат­ного множителя 83

Глава VI. Нахождение собственных чисел н co6ciвенных векторов ма1ряц

*

Работа L Определение собственных чнсс.1 и векторов матрицы методом

непосредственного развертывания........................................................................ 86

Работа 2. Определение собственных чисел и векторов матрицы метолом

Крылова................................................................................................................... 91

Работа 3. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы

методом Данилевского........................................................................................... 97

Работа 4. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы

метолом Леверрье — Фаддсева................................................................................... 100

Работа 5. Нахождение первого собственного числа и первого собственного

вектора матрицы методом итераций.......................................................................... 102

Работа 6. Нахождение второго собственного числа и второго собственною

вектора матрицы методом итераций.......................................................................... 104

Работа 7. Вычисление первого и второго собственных чисел и соответ­ствующих им собственных векторов матрицы с использованием возведения матрицы в степень для улучшения сходимости

итерационного процесса............................................................................................. 105

Работа S. Определение первого собственного числа матрицы метолом

скалярных произведений............................................................................................. 107

Глава VII. Интерполирование н экстраполирование функций

Работа I. Нахождение значений функции с помощью интерполяционного

многочлена Лагранжа.................................................................................................. 109

Работа 2. Вычисление значений функций но схеме Эйткина.................................................... 111

Работа 3. Вычисление значений функции по первой и второй интерполяци­онным формулам Ньютона ИЗ

Работа 4. Вычисление значений функции с помощью линейной и квад­ратичной интерполяции 118

Работа 5. Вычисление значений функции с использованием интерполяцион­ных формул Гаусса. Стирлинга, Бесселя................................................................................................... 120

Работа 6. Вычисления значений функции с использованием интерполяцион­ной формулы Ньютона для неравноотстоящих узлов....................................................................... 122

Глава VIII. Численное дифференцирование н iihtciрнрование

Работа I. Нахождение первой и второй производной функции с помощью формул, построенных на интерполяционных формулах Ньютона,

Гаусса. Стирлинга. Бесселя.......................................................................................... 124

Работа 2. Вычисление определенных интегралов по формулам прямоуголь­ников 127

Работа 3. Вычисление определенных интегралов по формулам трапеций

и Симпсона................................................................................................................... 131

Работа 4. Вычисление определенных интегралов по формуле «трех вось­мых» .... 136

Работа 5. Определение уточненных значений интегралов с помощью экс­траполяции по Ричардсону 139

Работа 6. Вычисление опрезеленных интегралов по формулам Гаусса... 141

Глава IX. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Работа I. Приближенное решение дифференциального уравнения усовер­шенствованным методом ломаных................................................................................................................. 143

Работа 2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом

Эйлера — Коепи............................................................................................... 144

Работа 3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом

Эйлера с уточнением.................................................................................................... 145

Работа 4. Приближенное решение дифференциального уравнения методом

Рунгс — Кутта и Адамса.............................................................................................. 149

Работа 5. Приближенное решение дифференциального уравнения методом

Милна........................................................................................................................... 153

Работа 6. Решение краевой задачи для обыкновенною дифференциального

>равнения методом конечных разностей.............................................................. 156

Работа 7. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального

уравнения методом прогонки................................................................................ 159

Глава X. Приближенные методы решении дифференциальных уравнений с hucihmmii нроизнолными

Работа /. Приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа... 161 Работа 2. Приближенное решение уравнения Лапласа для криволинейной

границы................................................................................................................... 168

Работа 3. Приближенное решение уравнения iеилоироводности методом

сеток........................................................................................................................ 172

Работа 4. Приближенное решение уравнения колебания струны методом

4се ток....................................................................................................................... Р4

Приложение I Справочный материал но вычислительной математике.... 177

Приложение 2. Блок-схемы некоторых алгоритмов...................................................................... 202

Приложение 3. Г1ро|раммы некоторых расчетов на микрокалькуляторе

Олек тропика КЗ-34» .................................................................................... 203

Литература........................................................................................................................................... 205

Учебное uuhutue

ПРАКТИКУМ МО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Зав. ролакцней L. I Гридасова ( \\о. тский Мл редактор Н 11 Майкопа Художсс 1 ысниый рола к гор В 11. Пономаренко Техническим рсдакюр

ИЬ № 000

Ищ. -N* ФМ-06. Сдано в набор 25.01.90 Подп. в печагь 14.08.90. Формат 60 X 90 Vie. Бум. кн.-журн. Гарнитура 1аймс. Печать офсетная. Объем 13,0 уел. печ. л. 13,25 уел. кр - он. 12,38 уч.-изд. л. Тираж 90 000 jkj. Зак. N? 1258. Цена 35 коп.

Ишательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14

Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28. Отпечатано в Ярославском поли графкомби нате Г оскомпечаги СССР. 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97.

1) Выше (см. с. 00) мы отделили один из корней этого уравне! и установили, чго он заключен в промежутке [0,6; 0,8]. Уточним эт корень методом касательных. Так как /(0,6) >0; /(0,8) <0 и /"(д*)<( то за начальное приближение примем ло=0.8.

Вычисления производим по формуле

1) Найдем приближенные значения корней графически; для этог< уравнение удобно представить в виде lg(2.v + 3)= 1 — 2л (рис. 4). графика видно, что уравнение имеет один корень, лежащий в промеж}

[1] этап. = А Г1 =(ссц)=(!); я,,= —.

«и

[2] *5. 1) з*- 1 _4_д - = 0;

2)  2л 3 — 9.V2—60.V +1=0;

3)  (л - З)2 log0 5 (-V - 2) = - 1;

4)  5sin. v=s. v— I.

Отделим корни аналитически. Находим

f[x)=Л 3 - 2л 2 - 4л'+7, Г (л) = Зл*2 - 4л - 4:

[0; 0,5]. Для уточнения его методом итераций приведем уравне! к виду л=ф(л).

[5] Перепишем данную систему в виде

v=sin (л*—0,6) — 1.6; А' = — cos V + 0,3.

[6]2=«34/«32; *2 =«35/«32;

*1 ~ («14 «12*2)/«11 ; *1 ==(«,| 5 « 12*2>/« 11 •

*3 = («24 «2 1*1 «22*2 )/«2 3 i *3=(«25 —«21*1 —«22*г)/«23 -

Контроль вычислений осуществляют так же, как и в схеме единственного деления. 6°. Метод квадратных корней для решения системы уравнений

{

«11*1 +«12*2 +«13*3 + «14*4 =«15,

«21* 1 + «22*2 + «23*3 + «24*4 = «25»

«31* I + «32*2 + «33*3 + «34*4 = «35.

«41* 1 + «42*2 + «43* 3 + «44*4 = «45*

коэффициенты которой симметричны относительно главной диагонали, т. е. «у=«л (' = 1 > 2, 3, 4; у=1, 2, 3, 4).

[7] 5 ,

Ук +1 —Ук + Чк + ^ 1 + р &~Чк - 2 (к = 2, 3,