Практикум по вычислительной математике (стр. 47 )

«И	«12	«13	«14
«21	«22	«23	«24
«31	«32	«33	«34
«41	«42	«43	«44
*и	]	Cl 2	<13	<14	«II	«12	«13	«14
*21	*22	]	‘23	t’24	«21		«23	«24
*з.	*32	*33	1	<34	«31	«32	азз	«34
*41	*42	*43	*44	1	«41	«42	«43	«44

Элементы обратной матрицы ау вычисляются по формулам, вытекающим из соотношений:

/	—	1	2	3	4
«/1 *1 1 + «i2*21 + «i3*31 + «i4*4l ^	—	1	0	0	0
«i2*22 + «i3 *32 + «i4*42	—	—	0	0	0
«i3*33+«i4*43	=	—	—	0	0
«(4*44	—	-	—	—	0
j =	1	2	3	4
«U + «2j£‘l2 +«3j£>l3 + «4jCi4 =	—	0	0	0
«2j + «3j£’23 + «4jC24 =	—	—	0	0
«3j + «4jt’34 =	—	—	—	0

Вычисления следует производить, начиная со значения /=4, затем j—4 и т, д.

5°. Метол главных элементов для решения системы уравнений

{

«1 I - Vi +tf12.V2 + «1зЛ\) = «14.

«21[6]1 + «22*2 + «23*3=«24»

«31*1 + «32*2+«33*3 = «34-

На каждом этапе исключения неизвестного выбирают главный элемент наибольший по модулю коэффициент при неизвестных, затем находят значения т(, равные частному от деления элементов столбца, содержащих главный элемент, на главный элемент, взятый с противоположным знаком.

Для получения элементов следующего этапа прибавляют главную строку (строку, содержащую главный элемент) к остальным строкам, умножая ее на соответствующее значение /и,-.

Один из возможных вариантов схемы главных элементов приводится ниже.

т,	Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены	Контрольные суммы X
*»	*2	Vj
«1!	«II		«12		«13	«14	«15
-1	«21		«22		Кз|	«24	«25
#ИЭ	«31		«32		«33	«34	«35
-1	k" 1		«12		—	«14	«15
т'з	«31		«32		—	«34	«35
						//	и
			«32			«34	«35
	*1	'*2	*3
	*1	*2	*3

В приведенной схеме |«23 | = max|«f/|, где i= 1, 2, 3; j— 1. 2, 3: |«'ц | = max|«I;|, (. j *. j

где /=1, 3, j= 1, 2.

Вычисления выполняют по формулам:

/И, = -«1з/«23. '«3=-«3э/«23:

a\j=au+mxa2j 0=1.2, 4, 5); «з;=«з;+"'з«2j (j=U 2, 4, 5); m'i= - a'3lfa’u;

eSi=«ji+mjeW (7=2.4, 5).

Неизвестные находят из соотношений:

Котффшшснп»1 при пси шее t пых	СноГюдные члены	KoHipo. IMIMC су ммы 1
-V|	\ 2	V.,	\4
«11	«12	«13	«14	«15	«10
	«22	«2 3	«24	«2 л	«2«1
		«13	«34	«35	«ч«>
			«44		«4Ь
111	11 2	'13	f 14	.» 1 =/|5	'ift
	til	/23	^24	II •»* -Л	hb
		hi	1.14	Vj — ^35	hb
			/44	V4 — ^45	^4<>
V|	Л‘2	V3	V4
Vi	Л'2	V3	-V4

I -1

i - 1

(/'</'; /=2. 3. 4; /'= 3. 4. 5, 6):

'‘4“^45 ^44> *4— ^4(i,' ^44 ■

Л‘3=(/35 —/34 *4)//33 • Л'З =(/Jfc “/.«-'‘4)/Гзз -

.Vi — (/’5 — /;дД\1 — 122 * ^2 = (^i> ^4-^4 12J-Vl) ^22 •

-V, — (/1 5 — /14-V4 — / 1 3.V3 — 11 i. Vi) /| i : - V1 — (^ 1 h ^ 14 ^4 11 дЛл — f | 2-X 2 ) ' 11

В схеме осуществляют строчный контроль. подобно тому, как по производят в схеме единственного деления.

7°. Метод последовательных приближений для решения сноечы уравнений (метод простой итерации). Систему следует привести к виду Л = Л Л \- /■'. Строят последователь­ность векторов: Л'() — произвольным век тор; Л’| = AХа f F: A\ = .-J. Vi + /*’: Х} = ЛХ2 + F: ...: Хп=ЛХ„> ! + /•'. Процесс сходится, если || А ||< I для какой-либо нормы матрицы. Отдельные координаты вычисляют но формулам:

л'' = /.. л!»= £ «„У/ ■" + /, (/= 1. 2 и).

j I

Точность вычислений можно оцепить из соотношения

1*'-*ЛТ<г4тГ1*.-*о||:

I  - У А ||

если X0=F, ю

где X’ точное решение.

К. Мсгол Зсйлсля для решения системы уравнений. Систему следует привести

к виду X = ЛX + /'. Строят последовательность векторов Л'о. A'i....................................... Л*.. где

Л'о — произвольный вектор.

Координаты вектора Л\ определяют по формуле

д-;41 = X ««y-v?’ + Z ~1 * + Л ('=1.2. я).

У “ I У <

Условия сходимости и точности вычислений можно определить так же. как и в методе простой итерации.

Методы решения нелинейных уравнений I". Метод хорд.

а) Пели /(/>) -/" (л ) > 0 на [я. А], то

/('.) „ ,

■'и 1 -'и, у, v. j Л А Л'„)

/(А)-/(лп)

(при ЭТОМ Л'о — я).

б) Пели Да) / "(л-)>0 на [я. А], то

/("} ,л 1 11 ц \ 4-1 Лхп а)

(при ЭГОМ Л'о = А).

2°. Мет од Нью юна (мет од касательных):

V V

" /•(■».)■

причем л'о = я. если /(я) */"(л)>0; л0 = А. если /(А) /”(\)>0 на [я. А] Видоизмененная формула

Я'»)

■'я - I -'л ( V ■

./ м

3°. Комбинированный метод хорд и касательных. П\сть л„- t и лп+, приближенные значения корня по недостатку и но избытку

а) Пели /(я)-/"(л)>0 на [я. Л], то

/М - _ /(у») .

пМ Лл ГМ' An4‘ Л" /(л„)-/(лп) Л"'

(при этом л0=я, л0 = А)

б) Пели /(А) /"(л)>0 на [я. А], то

/Ы |я в , /(л„)

*'л^1 Л-'я A'nJ, Лп - I — Л„ . . .

/('„)-/(л*) ./ (л*„)

(при ЭТОМ Ло=Я. Л'о = А).

4°. Метод итераций. Уравнение / (v)=0 следует привести к виду л=ф(л). например, по формуле

Ф (-V ) = - V —.

причем к следует выбрать так. чтобы \k\>Q:2, где () = тах | / '(л)| и знак

[а. Ь]

к совпадал бы со знаком /'(л) на [я. AJ. Итерационный процесс сходится при

условии | ф (\) | < I на [«. А]

Уточнение корня производится по формуле

■V„+1 =ф(л„), и=0. I, 2

Л'о —значение, взятое из промежутка [я. Л].

Точность вычисления можно оценить из соотношения

Л/1

-|-v, —Л'о U

1-Л/

где л * - точное значение корня, а А/ = тах| ф'(лг)|.

\а. ft[

5и. Мсгод итераций для решения сисгсмы уравнений вида

|д - = ф(л\ г), 1г=ф(х г).

Пусть одно из решений системы принадлежит области D: a^x^b, t^y^d. Для уточнения решения используют формулы

|л*п+1 =ф(л'л,