Практикум по вычислительной математике (стр. 48 )

\r„+1=vj/(.vn. >„).

Гф		ад	<1.	Гф		ад
	+			+	л
(X		( V		vy		м

где значения д*о и г0 прина;1лежат области D. Процесс сходится, если в области D выполняются соотношения

6°. Метод Ньютона для решения сисгсмы уравнении

У (.V, v}=0,

С(д\ r)=0.

Значения д-0 и у0 определяют графически. Для нахождения последующих приближений используют соотношения

лУп

где

^ (*и* Jn) ^ у(*"л* ,1л) ^ ( Д"л• } п) Gy (.V1ц)

Д*я=-

У X (*»!' А «) ^ ,1'л) с;(л„, г„) с;(л„, у„) ^ (*П« .1*) I X (*И' Jfl) G{xa. y„) с;(л-д. гп)

Ай =

д.. = *п

 

7°. Метод Лобачевского для решения уравнения

ao-v"+ 1 + ... +«„ = 0.

Предварительно выполняют процесс квадрирования корней. При квадрирова - нии корней каждый коэффициент преобразованного уравнения разен квадрату прежнею коэффициента, минус удвоенное произведение соседних с ним коэф­фициентов в порядке близости к исходному коэффициенту и т. д., причем если нужный коэффициент отсутствует, то он считается равным нулю.

а) Случай действительных различных корней. Процесс квадрирования следует прекратить, сели коэффициенты некоторого преобразованного уравнения в преде­лах точности вычислений равны квадратам соответствующих коэффициентов предыдущего преобразованною уравнения.

В результате получится уравнение Л0^"1 Ьх7* 1 ♦ ■■■ корни коюрого

находят по формуле

■п| = ,ГА~ (* = '• 2 ">•

|де р число квадрирований.

Знаки корней определяют грубой прикидкой или на основании cooiношений между корнями и коэффициентами.

б) Случай пиры комплексных корней. Сначала находят дейсгви гельные корни. Действительные части комплексных корней определяют in соотно­шений

«I 1 ^

U~ 1 '*

“ ° "к /го. к-АтЛ-1

где найденные действительные корни. Квадрат модуля комплексных

корней

где Ьт коэффициент с продолжающими оказывать влияние удвоенными коэф­фициентами. Коэффициент мнимой части г = ч/г2 - и1. Гогда. vm.4+, =и±/г.

8°. Схема Горнера для деления многочлена

Ря[х) = а0х" + аххя~1 + ... + а„

на двучлен \—р: “п «1 а2 ... «п-l р ЬоР biP ... Ьп-2Р Э I ^3 Ь\ =«! +Ь0р b2 = a2+bxp b„ -1 = un - i + b„ _ 2p R = a„+b„-ip

В результате получается соотношение

Рл(л)= (/?0-Yn ,+bi. V11 2 + ... +ЛП_ i)(.Y—/?)+Л.

где />, \""1 + ... + b„_ j — частное, a R — остаток.

9° Схема Горнера для деления многочлена

P„(.v) = £l0.v" + fl, Vn_l+ ... +11,.

на квадратный трехчлен x2+p.\ + q:

	a0	(h	аг	«3	...	(in - i	«П
-P		-b0p	—biP	—b2p	...	— b„-z4	—
-4		—	-b0q	—Ь\Ц	...	-b„-$q	~b„-2q
		>  ii! c 1 1 Cr- о	b2 — о 2 — —b\p — b0q	b3 = a3- — b2p—hxq	...	£'o = fln- i — - bn-2P~ - K-sq	-b„-2q

В результате получается соотношение

Л»(-V) = (/><>-Vя-2 + /> 1 а" 3+ ... т/>„ 2)(v2 + рх + </} + (<ч, V + г,),

где />0Л'Я~2 + /»i. v"“ f b„ 2 часгиос. a r(, v ЬГ| остаток.

10°. Метол Хичкока (метод вы деления квадратною множители) для решения уравнения

.V" + а 1 .v" 1 + ... + ап j л 4 а„ = 0.

Предварительно определяю! ipyooe приближение квадратного множителя левой части уравнения //„ (.v)=л2 - f р()л +</,*.

Для уточнения коэффициентов квадратного множителя (fk, = x2 +pkx + qk применяют двукратное деление левой части /j„(-y) = .y" + «,.v'i_ 1 + на име­

ющийся множите:н». Первое деление:

^п(л‘) = (л'” + /,1л' + ‘А)/ч + -'7>(/71. 4k)+Q{Pk - <д).

Второе деление:

I-к(■*) = (.v“ + ру. V (/() l. y 4- лifi) 4-S(f/n. pi). 1 —рк + Арк - Чк - 1- -- <д 4 Л„4. где /%(/V Чк) *ЧРк* Чк) Р{Рк. Чк) Р'АРк* Чк) л - Q'4[Pk‘ Чк) Q{pk. Чк) л — QiPk* Чк) Q'riPk' Чк) г'ЛРк* Чк) Р'ЛРь* '/*) P'riPk-Чк) Р'ЛРк - Чк) Q'riPk. Чк) Q'Apk - Чк) Q'riPk - Чк) Q'Apb' Чк)

P’p{pk* <u)=PkK(pi.. tfk)-S{pk. tfk): Q'p[pk. 4i) = qiR{pi. <ik)'. ЩРь (lk)= - Я(/Ч. Чк): Q',,[pk. Чк)= — S(Pk - Чк)-

11  °. Метол Горнера для уiочнения корня уравнения

f(x) = xn + alxn 1 +С12хп 2+ ... +«„ = 0.

а) Если корень имеет вид д-=(’0 ■ lO'M-C’i ■ Ю"1 *+..., то следует

JFU * 1

при.\>0

предварительно сделать подстановку д = 10171 г при л>0 или л= —10”'г при л<0.

В результате подучается уравнение, соответственный корень которого принад­лежит отрезку [0. 10].

б) Если искомый корень данного уравнения принадлежит отрезку [0. 10]. то для определения цифры С„ пользуются непосредственным подсчетом значении

У(а') при Л'=0, 1. 2............... 10 по схеме Горнера. Затем производят две подстановки

г=л — Со и г=10г. используя для первой из них схему Гориера. С помощью полученного уравнения определяют цифру С,. Все последующие цифры корня определяют аналогично.

Нахождение собственных чисел н собственных векторов матрицы

1°. Метод Крылова. Собственные числа матрицы А определяют путем решения характеристического уравнения, приведенного к виду

/>(>.) = (- 1)п(л"-(/1ля-1-^л,,-2-,..-^)^0.

Значения */!„ г/2.......... (in являются решениями системы, полученной из векторного

равенства

( иЧп +( i4n 1 + ■•■ + С„j f/j = С л,

где С0 — начальный вектор (произвольный). С\ = АС\ , (/=1. 2. 3.................................. н). Решая

эту систему, например при помощи схемы Гаусса, находят </,. </2- (/}.................................... ({„.

Собственные векторы матрицы Л определяют m соотношения

л - 1

(<=i.2...... н).

у-<»

где [i(J кок])фи1шеи1м частою, полученного при делении (—!)"/)(/.) на X/ (по схеме Горнера).

2°. Метод Данилсвеко! о. Для определения коэффициентов характеристического уравнения матрицу А с помощью «—1 преобразований подобия заменяют подобной ей MaipiiHcii

'Pi Г2 — рп-1 рп I 0 О О

/'=1

О 0 ■■■ I о На первом лапе находят:

I 0 ■■■ О О

О 1 ■■■ о О

U,

,'”<1 1.1 '«л 1.2 ■ '»л I. л 1 «»л I.»

О О О I

1 «и}

где т„- 1 ,=------------ . w„ —

«П. Л ” I «я. л 1

Ф\\ />12 ■■ />1.л-1 /’1

/>21 />22 />2.л I /{’

в=лмп ,=

f/>ij — j + «», п I 1. j

л - I «i. л 1 '"r, I. я 1

/>Я - 1. 1 />и - 1. 2 ■ ■ />« I. и - I Л л I. п

^0 0 - I 1

(I /V/»— I);

(I

10-0 0

0  1—0 0

«п I «л 2 *' «л. л - 1 «пя

0  0-0 I

С — М 1 В = Л/11А Л/,,-1 (матрица С подобна \iaipnne Я):

Ап	<12	<1л 1	<1л
Г	£ 2 2	<2л 1	<2л
\‘п 1.1	<‘л -2.2	<я-1.я 1	^я - 1.(1
\о	0	... 1	0

и

где = (/=1.2...................... //). <•„-!.;= X ahkf*Kj (у= 1......... «)•

it I

Все эти вычисления одного этапа оформляют в следующей схеме (на примере матрицы четвертою порядка):