Практикум по вычислительной математике (стр. 49 )

Номер строки	А/-*		С голбцы	ма грицы		X	г
1	2	3	4
I		«II	«12	«13	«14	<Л
2		«2 1	«22	«23	«24	d2
3		«31	«32	«33	«34	</з
4		«41	«42	1 «43 1	«44	(U
	\ А/з
1		»»31	™32	'«33 - 1	»»34	«1
	Л/з"
5	«41	All	Л12	ь13	Ь14	р.	Yi
6	«42	h 2 j	/>22	*>23	/>24	р2	Уз
1 7 1	«43	hi	*32	/>33	/>34	Рз	Уз
8	«44	0	0	0	0	1	I
QD		<31		<32		<’зз	<34	Рз

В этой схеме столбцы Z и Z' вводят для выполнения построчного контроля производимых вычислений, причем

" (I "

4= £ аи; ai = y< = f/f + a130tl (i= I. 2, 3); P,= J] />,v.

;= l «43 ;=i

Контрольные соотношения:

л

otj =w3i + м32 + (— l)+w34, р,- = у, + А,-з (/=1, 2. 3), Рз= Y. <‘зj-

i= i

В результате всех преобразований получается уравнение (— 1)" (X)=^_ 1 —/?2 _ 2 —... - лЛ=о,

корнями которого являются собственные числа Я., матрицы А.

Собственные векторы определяют из соотношения

=......................................... где Y,= [ ] (/=1,2,...).

\}* /

Каждое умножение в правой части этого равенства, начиная с М\ У;, позволяет определить одну из координат вектора X,.

3°. Метод Леверрье—Фаддеева.

а) Метод Леверрье для определения коэффициентов характеристического уравнения матрицы А. Вычисляют степени матрицы А:

Ak = Ak~x'A (А'= 1, 2 и).

Находят след для каждой из матриц Ак:

SpAk = 7J[ + \k2+ ... + Х‘ = X «}?»; >4* = [«8»].

i= 1

Коэффициенты характеристического уравнения определяют по формуле

= Sp/J‘ — pi Sp/l*-1 — ... —рк-1 Sp/f.

В результате получается характеристическое уравнение матрицы А:

{-\)по{к)=-кп-р1\п-1-р2к,-2-...-рп^о.

б) Видоизменение метода Леверрье. предложенное Фиддеевым. Строят после - ловательность матриц:

А\=А: SpAt=pi; Bt = АХ —рх tlm.

А 2 = А В i; \spA2=p2: B2 = A2^p2f.;;

Ап-1 — АВ„~у' ^ j Sp A„- j — p„- j, Bn~ \ — /ln-j—pa-\H\

A„ = AB„-i. — SpA„ p„, Bn An—pnh.

n rn

В результате получается уравнение

\п-рхХа-'-р2\п-2- ...~р„=0.

При этом контролем служит соотношение В„=0. Кроме того, метол даст возможность найти А~х = В„~\!рп.

Собственные векторы находят по формулам

Х0=ё: Х?' = \кХУ-!+Ь*' (i= I. 2 л— |),

где столбец единичной матрицы, />* —одноименный столбец матрицы Вк. Собственный вектор A"J,*2| соответствует Хк.

4°. Метод итераций для определения первою и второго собственных чисел матрицы и их векторов. Строят последовательность векторов: У0 — произвольный вектор, Yi - AY,-^ (/=1,2....). Тогда

\

} •

где г}“ и rj‘4 “—одноименные координаты двух последовательных векторов;

.гГ1,-Х,1 f

I,.

г}*’—Xii, w ir

где у\к+1\ г}*1, if —одноименные координаты трех последовательных векторов. При этом A i ~ У*, Л,2=1,4 + 1—X, У*.

5°. Способы улучшения сходимости итерационного процесса.

а) Способ возведения матрицы в степень. Строят последовательность матриц А, А2, Ай А2\ затем находят Ym = AmY0\ Ути = АУтщ Где т=2\ Тогда

у(т+ 1»

^ % У]"’ ' % (,= ■■ )■

б) Способ скалярных произведений. Строят две последовательности векторов:

Y0\ Y,=AY0: Y2 = AYx; ... Yk = AYk_x

У0: Y\=A' Y 0; Y'2 = A’Y\. ... Yk = A'Y'k^, где А и A'—соответственно данная и транспонированная матрицы. Тогда

. ОУП) ,

4 (П-.■)•.)•

если матрица А симметрическая, то А — А' и

- (>\ >\)

л. - ---------- .

(>'. I П)

Интсриолнроваиис и зкоранолированис функций 1°. Интерполяционная формула Лагранжа:

р ( -) = у (у — Л'о)(-V — A~i)... (.У — .у, |)(-У-.\-д ■ 1) ••• (д - Ул)

, „ 1' (а. - Л'о) (л, - л,)... (Л; - л, 1) (л - л, м)... (л, - л'„) ■

При вычислении коэффициентов Лагранжа разности удобно расположить следующим образом:

Л* | Л'о

л-л0
Л'о - Л]	Л‘() — Л'2	у» - Уг
Л-Л'1
л, - л„
л, - л2
л — л
л >-У,
Л'2 л0	л5-л„

 

Лп-Л'о

Пели обозначить произведение элементов строк через D; (/=0,1........................................... и).

а произведение элементов главной диагонали через Цп+|(л). то получится формула

I о

В случае равноогеюящих узлов ннгерноляционная формула Лагранжа принимает вид

Xi

Л(-у)=[Ь*.<01-;

1)1!(и-|)!(-1)"

где /=(л—л'о)/А. Л = л,--1—л; (/=0, 1.2.............. н).

Для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно использовать соотношение

If»/ \ I ^ I I I |я > 1 (-У) I, - . > I)/ ъ, Я. .у)1< • глс 1 =тах\/ п(л)1-

(л+1)! h. fti

2°. Интерполяционные формулы Ньютона.

а) Первая штщтоляцшшпа. ч формула Ньютона:

п,\ , а. '/(</-•) а' . ,'/(</-1)-('/-"+ 1)А„

Л.(*)=\1'о t VАг0 + —-—Д7о+ - ------------------ г------- д. Го-

и:

где q=[y—xQ)/h, Л = а,+ 1— л, (/=0, I................ и). Л'г0 конечная разность ыо порядка,

причем А‘у0 = А‘’ ‘j, —А1" ' г0 (;= I. 2.............. /»).

Пели н=1. то получается формула линейной интерполяции

Р\{х)=уи + цЬуп.

Рели п — 2. то получается формула квадратичной интерполяции

</(</-!) , р2 (')=.г0 + Ч Л, г0 +-------------- — Л‘г0.

6)  Вторая интерполяционная формула Ньютона:

„/ч д 0 л, , </(</Н)...(‘/ + «- 1)д„

Л,(*)=.»■„ + </Л ги , + ———А-.» ,, ,+ ••• +------------- ;-------- д Го-

и!

где </ = (л-лп) //.

в) /7//»«7//j»./.,ii/f/fi////(/.v формула Ньютона Оля нератоотетоящих значений аргумента:

ЛЛл) =./(-Y<)) + (л — л())./(•'()• Л|) + (л — -'(»)(-' — •' I )./(■'»• л1* -'2) ■■■

... + (.V —.YU)(.V —Л‘|)(.\' —Л>) ...(-V — - Y„_ i )/(.V0. .\j Л„).

/‘{.VJ. л,........... л,) -/(-V,,. - V,.......... V; ,)

где /(л„.-V,........... v,) =--------------------------------------------- разделенная разность но

-Y, — Л'п

V,		Л 1..	I*1 :.i i. i	Л. и :.< i. i	V,- V
•Vo	Уо						л«-л
Л|	Ух	Ли	.V				.V, - л
Л'2	\'у	Л.2	.V		Ли.: (л)		Л'2 —-V
Л'З	Уз	[*2.3	X		PuzJx)	Л.;..,...(л)	Л'з - X
• * ■	. . .	• •			‘ ■ ■	. . *	. . а

порядка.

Здесь

I i. i ‘ 1..... < * к (•' ) '

Л. i - к..... i • A. - 1 (A)-'i - к