Практикум по вычислительной математике (стр. 27 )

1.6  1.2 -1,1\ /3.3 1 2,3 \

№ 19. А = I 1,2 1.1 0,6 . № 20. /1= 1 3.8 2,3 .

-1,1 0,6 0.8/ \ 2.3 2.3 4,3/

2.9  I 1.9\ / 2.6 1.2 -0.1 №21. .4 = 1 I 3,4 1.9 . № 22. /1= 1.2 2.1 1.6

1.9  1,9 3.9/ \ — 0,1 1.6 0.8,

1.8  1.2 -0,9 \ /3.4 I 2,4

№23. .4 = ( 1,2 1.3 0.8 ). № 24. /1= 1 3.9 2,4

-0,9 0.8 0.8/ \ 2,4 2.4 4,4,

3.1  I 2.1 \ /2,8 1,2 0.1 \

№25. .4 = 1 1 3,6 2.1 . №26. А=[ 1.2 2,3 1.8 .

2,1  2,1 4,1/ \0,1 1.8 0.8/

1.6  2.3 -0.5'

2,3  2 1,2 -0.5 1.2 0.6

2.4  1.2 2.5 \

1.2  3,5 1.4 .

2.5  1.4 4.2/

Образец выполнения задания

/1.6 2.3 1.2 \

А = [ 2.3 0.6 1.5 .

\ 1.2 1.5 3.8 /

1.  С троим последовательность векторов = А,. где

) 0 — произвольный вектор: тогда ^ г{* 1 VrJ* i де уГ" и - у! к> — одноименные координаты двух последовательных лекторов. Все вычисления приведены в таблице.

А	1,6	2.3	1.2	,.«* ♦ i> 11 yV	|Л‘"» ~уТ'~	y, i,
2.3	0.6	1.5
1.2	1.5	3.»
>0	1	1	1
^1	5,1	4.4	6.5	5.11	5.48	5.76
У2	26.08	24,12	37.42	5,45	5.41	5.60
>3	142.108	130.586	209.672	5,484	5.511	5.548
>4	7,79327 -102	7.19708- 102	1,16316-103	5.5151	5.5148	5,5321
Уь	42,9804-103	3,96902-103	6.43476 103	5.5205	5.5225	5,5267
>6	2,37273-104	2,19190-104	3,55633 • Ю4	5.5233	5.5235	5,5251
У1	1,31053 105	1,21069 - 10s	1,96492 105	5,5240	5.5241	5.5246
Ун	7,23934 -105	6,68801 ■ Ю5	10,85537-105	5.5242	5.5243	5.5244
У*	3,99918 - Ю6	3.69463 -106	5.99696 10”	5,5243	5.5243	5.5244
>10	2.20927 • Ю7	2.04103 -107	2.31294 -107	5.5243	5.5243	5.5243
>1.	1,22047-108	1,12753- Ю8	1.830184-108

Итак, Xt = 5,5243. 2. Собственный вектор Хх определяется из равенства Хх^Ук. Сле­довательно, Хх *УХХ =(1,22047-108; 1,12753 • 10й; 1,830184 ■ 10s).

Чтобы первая норма вектора была равна 1, разделим координату вектора Л', на наибольшую из них по абсолютной величине; тогда окончательно получим Хх =(0,667; 0,616; 1).

Работа 6

Задание. Используя метод итераций, определить второе собственное число матрицы Х2 с тремя верными цифрами. Затем найти соответствующий ему собственный вектор, имеющий первую норму, равную 1 (координаты вектора вычислить с тремя десятичными знаками). При выполнении работы восполь­зоваться вариантами работы 5.

Образец выполнения задания

/1.6 2.3 1,2 \

Л= 2.3 0,6 1,5 .

\ 1.2 1.5 3.8/

1.  Выше (см. с. 103) была построена последовательность векторов Ук+ AYk, где К0 — произвольный вектор. Второе собственное число определяем из соотношения

где у}к~ г/Ч v! fc+l) — одноименные координаты трех последовательных векторов; Х|—первое собственное число.

Предварительно найдем с большей точностью, для чего продолжим вычисления, выполненные на с. 103:

>1.	1.22047- Ю8	1.127535- 108	1,830185-108			>ч
К,2	6.7423100 -10“	6,2288875 • 10н	10,1105731 ■ Ю8	5,524342	5.524342	5,524342
^13	3,7246825 - 10ч	3,4410505-109	5,5854281 -10ч	5,524343	5.524243	5,524343
У»	2.057642 -1010	1.9009542-1010	3.0855822 1010

Отсюда = 5,524343. Для вычисления Х2 выберем векторы У8, У9, К10: будем использовать различные координаты этих векторов. Все расчеты заносим в таблицу.

о		Ух о-	Ус,		>'<>- ->ч Y*	*■2
2,2092689 • 107	2,2092842 • 107	-153	3,9991813 - 10е	3,9992597 \ О6	-78,4	1,95
20410332 1О7	2.0410403-107	-71	3.6946338 ■ Ю6	3,6946861 ■ 10*	-52,3	1.36
3,3129409*107	3.3129264 -107	145	5,9969621 *106	5.9968787-106	83,4	1.74

Принимаем X, 2= (1,95 + 1.36 + 1,74)/3 = 1,68.

2.  Собственный вектор Х2 определяется из равенства +1 — X, Ук.

Таким образом. Х2^ К10 — X, К9 = ( — 153; —71: 145). Разделив координаты вектора па наибольшую из них по абсолютной величине, т. е. на —153, получим Х2 (1; 0,464; —0.948).

Работа 7

Задание. Вычислить собственные числа X, и Х2 матрицы и соответ­ствующие им собственные векторы Хх и Х2, имеющие первую норму, равную единице. Для улучшения сходимости итерационного процесса воспользоваться возведением мат­рицы в степень (ограничиться 8-й или 16-й степенью).

/1.2 0,3 I

Л» 1. Л = ( 0.3 0.5 1,2

\1 1,2 0,8.

/1,3 0,4 2

Л» 3. А = 0,4 0.3 0,5

\ 2 0.5 1,5,

/0,8 1,4 1,3

Л° 5. А=[ 1.4 1 1,2

\ 1.3 1,2 0,5,

1.4  0.5 1

ЛЬ 1, А = \ 0.5 2 0.4

1  0,4 1.5,

1,6  0.3 0.5

.Vs 9. А = \ 0,3 1,2 1

.0,5 1 0,4,

1 Г

0,6	1
1	1.4
2.2	0.5
1.2	1.5
1.5	0,4
0,3	2
1.6	1.2
1.2	0.5
0.4	1
1	1,3
1.3	2.4
0.6	0,7
0.6	0.8
0,8	1.4
2,5	0.3
2,3	2
2	0,5
1.2	0.7

Л° 15. А=\

ЛЬ п. а = \

0,8 1.3 0.2

№ 6. А = 1 1,3 1,5 2

0.2 2 0.6,

0.5 2 1.3

№ 8. .4 = 1 2 1.2 0.7

1.3 0.7 I

1 1,3 1,2 ЛЬ 10. Л = | 1.3 0.6 1.5

1.2  1.5 0.8,

2.3  0.3 0.5 ЛЬ 12. .4=1 0.3 1.2 0.6

0,5 0,6 1

1.3  0.6 0.8 ЛЬ 14. А= | 0.6 1 1.2

,0,8 1.2 1.5.

0.6 1,3 2.4 ЛЬ 16. .4 = | 1,3 1.5 0,7

2.4  0.7 2

1.2  0.4 2.5' ЛЬ 18. А=\ 0.4 1,4 0.6

.2.5 0.6 0.7,

0.7 0,8 1.3 № 20. = | 0.8 2,6 1.3

1.3  1,3 0,8.

1.2  2 0.5

2  1,4 1,7

0,  5 1,7 0,3

JVs 23. Л =

2.3 0.5 0,4' 0.5 1.2 0.8 0.4 0.8 1.3

JVs 29. A =