Практикум по вычислительной математике (стр. 41 )

ЛЬ 11. i’' = 0,3.v+i-2, г(0)=0А

ЛЬ 13. г' = л + 0.3г2. г(0) = 0,3.

№ 15. г' = 0,1л - + 2лг. г(0)=0,8.

Ла 17. r' = 3.Y2 + 0.l. vr, г(0) = 0,2.

№ 19. г' = л2 + 0,1г2, г(0) = 0,7.

Ла 21. у’ = 0,2л*2 + у2, у{0)=0,8.

ЛЬ 23. v' = *v+0.Ir2, v(0) = 0.5.

№ 25. v' = 0.1.\t+0,3i-2, v(0)=0.2.

№ 27. r' = .vr + 0.2v2. r(6) = 0,7.

№ 29. v’ = 3.v + 0.1 v2. r 0 =0.4.

ЛЬ 24. i'=0.2.vr+1-2. >(0)=0.4.

ЛЬ 26. r' = 0.3.vr + r2. v(0)=0.6.

ЛЬ 28. r'=0.1.v2 + 2r2. v(0)=0.2.

ЛЬ 30. r' = 0.2.v + 3r2. v(0)=0.2.

Образец выполнения задания г' = I,6.v+0.5 г2 =/(.v. у): у (0) = 0.3.

1.  Определение начального отрезка у0, У\, у 2, Уз произведем по формуле Рунге—Кутта

,(t | =)', + 7 (А','1+2А-'■? + 2А з1+А' 5>) (/=0, 1, 2).

6

где

kf=hf(xi, V,).

*2> = A/^.v.‘+*. Vi + y^. к f=W(xi+A, +A' ff).

о

Все необходимые расчеты осуществляем с помощью табл. I, в которой

Aj’i=\ (А-',"+2А - 5'»+2А Ц>+А-«'). 6

Таблица I / .V г I.6.V 0,5 v2 ./(•V. у) к д.1\ 0 0 0,05 0,05 0,1 0,3 0.3022 0.3063 0,3127 0 0,08 0,08 0,16 0,045 0,0457 0,0469 0,0489 0,0450 0,1257 0,1269 0,2089 0,00450 0.01257 0.01269 0.02089 0,00450 0,02514 0,025318 0,02089 ) 0,07591 (1/6) = = 0,0127 1 0,1 0,15 0.15 0,20 0,3127 0,3231 0.3273 0,3421 0,16 0,240 0,240 0.32 0,0489 0,0522 0,0536 0,0585 0,2089 0 0^2936 0,3785 0.02089 0.02922 0.01936 0.03785 0,02099 0,05844 0,05872 0.03785 0.17590 (1/6) = =0.0293

/	.V	у	1.6 л	0.5у2	/('• у)	к	Л. г,
2	0,2 0,25 0,25 0,30	0,3420 0.3609 0.3653 0,3887	0.32 0.40 0.40 0,48	0,0585 0,0651 0.0667 0,0755	0,3785 0.4651 0,4667 0,5555	0.03785 0.04651 0.04667 0.05555	0.03785 0.09302 0,09334 0.05555
							0.27976 (1/6) = = 0.0466
3	0.30	0,3886	0,48	0.0755	0,5555

2.  Последующие значения функции r, + i =y(.v,+1) (/=3. 4....................................... 9) будем

определять методом Милна. Согласно этому методу, по ходу вычислений следует составить таблицу, содержащую значения у,- и / (л*,, у, ) (табл. II).

Таблица II / •V, У\ 1.6.V, 0,5 г г .1.) 0 0 0,3 0 0,0450 0.0450 1 0,1 0.3127 0.16 0.0489 0.2089 2 0,2 0.3420 0,32 0.0585 0.3785 3 0,3 0.3886 0.48 0.0755 0.5555 4 0,4 0,4534 0,64 0.1028 0,7428 5 0,5 0.5376 0,80 0.1445 0.9445 6 0,6 0,6430 0,96 0.2067 0,1667 7 0,7 0,7719 1,12 0.2979 0.4179 8 0,8 0.9280 1.28 0,4306 1.7105 9 0.9 1,1160 * 1,44 0,6227 2.0627 10 1.0 1,3434 — — —

На каждом шаге вычисление ведется в два этапа. Сначала по первой формуле Милна находим

г^Д^+уЙЙ-з-Л-г+ЭД-.). а затем по второй формуле Милна находим окончательное значение

Гг=у|2)=у,-2+-(У1—2+4/)— j

где /[.‘’-/(л,-, у[.1)).

I.  vi’’ =.г0+у(2/, -/, + 2/з)=0,3+у(2 • 0,2089-0.3785 + 2 • 0,5555)= =0.4534: /<■>1=0,64 +0,1028 = 0,7428: Г л'=Г2+^ (/i+4/э +/У1)=0.3420+у (0,3785 +4 • 0,5555 +0,7428)= =0,4534.

Из сравнения у(41) и у</) имеем у4 = 0,4534.

4/f 0 4

2.  vc5‘1 =.г, + -{Ifi-fi + 2/л)=0.3127+т(2.03785-0.5555 + 2• 0.7428)= =0,5376; /(5‘ ’=0,80 + 0.1445 = 0,9445;

,- '52' = +'Uf3+4/4 >)=0,3886+у (0,5555 + 4 - 0.7428 + 0,9445)=0,5376. Из сравнения г”* и г(52> имеем г5 = 0,5376.

4 л о 4 3. у <6* >=У2+—(2/з -/4 + 2/д) = 0,3420 + (2 ■ 0.5555 - 0,7428 + 2 • 0.9445) = =0.6430; J "' = 0.96 + 0,2067 =1.1667;

.г ‘„2) = 1-4+* (/*+4А 1 )=0.4534+у • (0.7428 + 4 • 0.9445 + 1. 1667)=

= 0.6430. 4/* о 4 4. .1- V' = i-j + - (2/4 - fs+2/„)=0.3886 +у(2-0.7428 - 0.9445 + 2-1,1667)= =0,7719: у'7п = 1.12 + 0.2979= 1,4179; = ,j+■•(./;,+4/i,+/V1 )=0.5376+у (0.9445 + 4 • 1.1667 + 1.4179)=0.7719. 4 Jt О 4

5.  у1 = i-4+у (2/^ —/,, + 2/7)=0.4534Ц—г-(2' 0.9445 — 1,1667)+2 х х 1,4179)=0.9278; 1 = 1.28 + 0,4304 = 1,7104;

,• --- +■• (U+ 4/, +/'„' ’)=0.6430+у (1,1667 +4-1,4179 +1,7104)=0,9280. 4/; 0 4 6- .ii," = i-5+-(2/„-/'7 + 2/s)=0.5376+y(2-1.1667-1.4179 + 2-1.7106)= = 1.1158; 1 = 1,44 + 0,6225 = 2,0625; v!,21=.1'7+^(./7+4/«+/(9")=0.7719+у( 1.4149 + 4-1,7106 + 2,0625)= 1,1160. '

4 Л 0 4

7. у V,! = V*+- (2/, -/« + 2/.,) = 0.6430+У (2 • 1,4179 - 1.7106 + 2 • 2.0627) = J = 1,3431; /Vo = 1.6 + 0.9020 = 2.5020;

'.о=Л+г (Л + 3/, +/1,1,!)=0,9280+у (1.7106 +4 - 2,0627 + 2,5020) = 1,3434. Ответом являются значения функции, приведенные в табл. II.

Работа 6

Задание. Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального урав­нения с точностью е = 10 " 3; шаг А = 0,1.

I

JV2 1. r" + —+ 2v = .v. JVs 2. г"-лтЧ2г = л+1.

.V

f г (0,7) = 0,5 | г (0.9) - 0.5 г' (0.9) = 2.

(.2г(1) + 3.|-'(1)= 1,2. | г(1.2)= 1.

ЛЬ 4. г " + 2г'-- = 3.

х

f У (0.2) = 2,

10.5.1* (0,5)—у (0.5) = I.

Ле 8. v" + Зг' —- = л + I. х • (1-2)= I. 2у( 1.5)—у'(1.5) = 0.5. Ла 10. г"+ 1.5г'—л*г=0,5.

2 г Ла 6. i " — v' + — = л + 0.4, .у

г" + 2г' —лг=л’2.

г

.Vs 9.

 

 

.* 15. -Va 17.

2 г (0,3)+ г'(0.3)= 1. у (0,6)=2. у" + ——Зг = 2, л* (г'(0,8) =1,5. [2у(1,1)+у'(1.1) = 3. у "-Злу'+ 21 = 1,5, Гу(0.7)= 1.3. [0.5у(1)+/(1) = 2. г" + ——0,4 г = 2л, .V г (0,6)—0,3у' (0.6) = 0,6. у'(0,9) =1,7

.Va II.
{
-Vs 13.
Ла 16. 1 " + 2лт'-2г = 0.6.

 

№ 23. у" — 0,5у' + 0.5лг = 2л\	№ 24. y" + 2y'-l,5.ty=-, -V