Практикум по вычислительной математике (стр. 50 )

Л i - 1. f • 2 i • к ( Л) Л < - к ~ X

причем

Г

Г, - V, - V } i » 1 Xj, \ ■'

Л i * 1 Л,•

Конец вычислений определяют путем сравнения последовательных значе­ний Р(х).

4°. Интерполяционные формулы Гаусса.

Первая формула Гауееа:

п1 , , д ,</(</-О д, (</+ !)</(</-*)а3 (</~ !)'/(</”*)(</—2)

Р(х)=Уо + <1Д Го + —— А 'У 1 +------------------ Д3Г -1 +------------ 4,----------- ЛУ - 2 +

(</ + 2)(</-И)</(</-1)(</-2) [q-n - 1)...(?-м+1) A,„_l

+ ------------------------- Л-г 1 - г... +---------------------- А Ч_1п

5! ’ ‘ (2л-1)! ‘ ‘

(#/ + и— 1) .-(*/-«)

+ А г...

(2«)!

где </=(л-л0)/Л.

»/ ч , а. . (</+ 'М^-Одз р (л)=.'О + </ Д. Г -, + ——— Д‘г, + Д3 г _, +

a* I J •

(</ + 2)(?+1)</(</-1) .(</ + «- !)...(^-и+1) + Д г_ ■»+... + ■—-— Д~" г__ +

4! ’ (2« — I)!

(г/ + и)(^ + и-1) ..{q-n + I)

j--------------------------- Д‘"|

(2я)!

где q=(x—x0)jh.

5°. Интерполяционная формула Стирлинга:

В,.., . . , ?212 . ч{<Г-\) Д3Г-2+Д5>‘-1 ,

Р(х)-)о + Ч - + — A v-| + ——-------------------------------- +

. <Г/2(</2_1)*4 . <1(*Г-])(‘Г~22) Д5.1*-3 + Д5У-2

1~4Г~‘4г-2+-------------- 5!------------- 2 Н

,ч2(г-|)(г-2г)<л . *(*»-1И**-2а)_.[,*-С»-1)>]

+--------------------- Д v... +--------------------------------------------- X

6! • 3 (2н — 1)! Д2л ху-„+&2" </2(</2-1)(</2-22)...[>/2--(н-1)2]

х------------ ——----------------------------- — = А г

2  (2я)!

где q=(.v — ,v0 )!h. Обычно чту формулу использую г при |<у|^0,25.

6°. Интерполяционная формула Бссссля:

п/ ч Уо+У-i, ( 1\А . </(</-!) Д2\_, + Д2Уо (д)= 2 + 2)&Г°+ ~М 2

(<у—0,5)г/(</— 1) q(q-\){q+\)(q-2) Алу_2 + &V_,

+--------------- Длг_1 ч-------------------------------------- +

3! 4! 2

(г/-0,5)</(г/-1)(г/ + !)(</—2) ч[ч~1)(ч + l)('/-2)to + 2)(</ + 3)

+------------- ——---------- Д r_2H-------------- — х

5! 2 6!

Д V _ л + Д6 г - 2 Ч (Ч~ 1) (Ч + 1) (Я~ 2) (Ч + 2).,.,. (q-n) (q+ п - 1)

X-------------- + ... Ч----------------- ——-—------------------- X.

2 (2,1)!

*  2 ' +

(«-0.5)r/(</-l)(v+ l)(f-2)(f + 2)...(«-«)(9+n-l)

J--------------------------------------- —---------- Д-л т 1 |«

(2л+1)!

где q=(x-x0)fh. Обычно эту формулу используют при 0,25<0,75.

Численное дифференцирование и интегрирование

1°. Формулы численного дифференцирования

а) основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона:

1/ 2 q-\ , 45q2 — 6q + 2 2qi — 9q2+\\q~3

У М*7 A. i'o + ——ДУо+ ——------------- ДVo +--------- —------- Д'Уо + п\ 2 6------------------------- 12

5</4—40r/3 + 105</2 — IOOf/ + 24 t \

+------------- 7ГТ------------ Д i'o+ - . 120 J

I / , , bq2 — 18<y+11 л ■г"(л■)*^2( Д‘‘о + (Ч - 1)ЛVo + — А Го +

2г/3— 12г/2 + 21с/— 10 + ~ - где q={x—x0)/h. А=л*1+,— дг, (/=0.1,2....):

б) основанные на первой формуле Ггivcca:

1/ 2(/—\ . 3</2-1 х 2г/3-Зс/2-</+1 л \

г'(л)55-( Дг0 +----- Д*т_, +----- Д г j Н------- Д V-2+ — )«

Л\ 2! 3! 12 ]

. . 1 / , . bq2 — bq +1 \

У” (•*) * ^2 (Д - Г - I + ЧАу - • + р Д У - 2 + '■ J:

в) основанные на второй формуле Гаусса:

. . 1/ 2</+I, 3</2—1 2</л + 3<у2-</-1 \

r'(.v)^-[ А г* _, Н-------- Д‘г_, Н-------- Дг_ 1 +--------- Д... ].

А\ 2 6 12 /

. 1 / , , 6</2 — 6f/ — I \

v"(л)St—f А-.Г_, Н-ДV_2Ч————Д У-2+ - j:

г) основанные на формуле Стирлинга:

I (Дго+Дг - j 3</2-1 Д3г-1+Д3.»*-2 . V~'/a4 , ’\

•  msfe-l------------------------- +qД“» _,Ч Ь - Д г_•> + ... I.

У ’ h\ 2 1 6 2 12 /

1 / , Д3г_^ + Д3\_1 6t/2-l \

г"(л)%—( Д2г_1+^------- —1— + ——А г_3+

д) основанные на формуле Бесселя:

lq2-3q+ -

1/ 2^—1 Д2г_1+Д2г0 2

/ н»;(дл+•-г—"-V—+—6—А'-+

2q3 — 3</2 — q+ 1 Д4«

+------- —------

, 1 (Ь2У - 1+A2.V0 , 2q-\ д3 . 6q2-bq - 1 Д4г-2 + Д4Г-. . \

j - m - ----------------- - +----- AJv_, +------------------------ + ...).

1 ' lr\ 2 2 12 2 /

2°. Формулы численного интегрирования.

а) Пусть отрезок интегрирования [а, b ] разбит на п частей с шагом h—(b-a)/n. Тогда:

Ь п- I

J/(.v)t/v%/j X/(vi) (формула левых прямоугольников):

о 1 = 0

Ь п

jf(x)dv? zh X/(-V,-) (формула правых прямоугольников);

* «-1 / /,\

J/(jr)<Zyjfc/i X Д *{+ - ) (формула средних прямоугольников),

и 1=0 \ 2/

где x(=a + ih (/=0, 1,2............. я).

2п

(Ь-аУ

/■(4

2п

К,\П=-—^.Г{г.).

24/Г

где « ^ г. < />.

б) Фирму. ш Ныопитц Копира:

ь п

а к *1

где - V, = .v„ I //; (/ = 0.1.2.... /;). .vfl = «. * = (/> — ,/) «.

Коэффициенты Ck = Hk„jl\n определяют заранее и для них составлены таблицы:

п	Н, ы		//>*	/л„	//4ч	//*„		Л',
1	1	1						т
2	1	4	1					6
3	1	3	3	1				8
4	7	32	12	32	1 1			90
>	19	75	50	50	75	19		288
6	41	216	27	■>ТТ г	2'1	216	41	840

в) Форму. ш трапеции-.

ь

Л /1

./(л-)</л'*/|| ■■ vl(+r, t. v;+ ... 4 г где V, —/(л,) (/=(). 1. 2 н). причем

12/г

г) Форму. ш Симпсона (число п обязательно чемюе): ь

/(.y),/.V=^[v„+l'„ + 2(..., - Ы„-М,,+ ... +4(r, t г,+ ... +.!•„

причем

д) Форму. ш Гаусса:

h

л

Ь — а

f[x)tlx* — [С, /(л,)4- ... 4-С „ /(л„)].

п	1,	С,
1	/| =о	С,=2
2	/1 := ±0.577350	С,=(\ = 1
3	/,, = + 0.774597	С, = Г., =- = 0.555556
	/2=0	8 С’, =- = 0.888889 ‘ 9
4	1ц= +0.861136	С, = С 4 = 0.347855
	tz. i= ± 0.339981	С\ = С3 = 0.652145

е) Экстрано. гяция по Ричардсону. Пусть /„ и 1„ дна приближенных знамения

f/(v)dx. найденных но одной и гон же формуле при н, и н2 ). Тогда

а

более гочное значение ною ни горала можно нанги но формуле

«Г

At, п. А. _ .„(Ат

где т — порядок остаточного члена выбранной формулы (например. Для формулы трапеций /« = 2, ,тля формулы Симпсона /и=4).

Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1°. Решение задачи Коши для дифференциальною >равнения л-ю порядка

Г, я, = /(л - »■ г' у(я‘")

заключается в отыскании функции i (д). удовлетворяющей лому уравнению и начальным условиям r(.v0)=r0. .f (.vn,,(д'0)=.Го и. где л„. г0. ... _и заданные числа.

Для решения ноегавленной задачи применяются следующие методы,

а) Метод степенных рядов. Решение ищут в виде суммы ря и»

, , . (л»1, , .'''I*»), V.

.1 (л)=|(л„) - i —~(.V-.»■„) —— (v - V„) т... + ---------------- — v - V,,)" 1. ....

J J И ’

nl

Приближенное решение задачи дает частичная сумма >того ряда.

б) Метод Эйлера d. iu уравнения r' = /(.v. г) с начальным ус. нмием г(д0)=г0.

Составляют габлицу значений rA=r(.vj. uie xK-x0 + kh (А == 0.1.2................................... и).

h=(b—a){n. [«./>) отрезок. на котором ищется решение. Значения yk,, определяются но формуле

Гд. j — ijTЛ/(а'|. Уд| (А = 0. 1. 2. ...« п — 1}.

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет Rk=Q.5lry"(£). где Л\^С^Дц,. |•

в) Усовершенствованный метод юмапых. Сначала вычисляют промежуточные значения

h h xk * 1.2 - Xk + у Ук * 1/2 У к + ~J ( v* ■ Ук )•

а затем находят г*, i =yk + hf(xk4.,/2. rfc + ,/2). Метод имеет несколько большую точность, чем метод Эйлера.

г) Усовершенствованный метод Эйлера — Коши. Сначала вычисляют «грубое» значение

\'к+1= Ук+А/ (ч • Ук)' которое затем уточняют по формуле

I

.v* f I =}\ + у* [ /'(-Ч* У к) +Л*к +1 • Л + > )]♦

Погрешность метода на каждом шаге имеет порядок Л3.

д) Усовершенствованный метод Эйлера с уточнением. Сначала вычисляют

ГГЛ=ГЛ+Л/К - rj, а затем что значение уточняют по формуле

уЦ1\=Ук+ “[/К - Ук) +/(-vjм и rf:**)] 0= 1‘ 2. • -)•

Итерации продолжают до тех пор. пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут. Погрешность метода на каждом тгапс имеет порядок А3.

е) Метод Рунге — Куптш. На каждом шаге вычисления выполняют по формуле

Л+1 “г,+ ~ i(< ’+2k Ц * + 2А j[7] *+к j*1).

О

где

А‘0=Л/(л„ г,). A V‘,=A/^.vf+ у,+ к^\

{ л kV\

А-Г=Л/(-vt.+ у,+ ~ J. *Г=Л/(л|+Л. г. + АГ).

причем л*, = л0 + /Л (/=0, 1,2, ..., и). Погрешность метола на каждом шаге имеет порядок Л5.

ж) Метод Адамса. Формула с первыми разностями:

1

У к +1 =Ук + <к+ -&<lk-1- <А = Л/(л4, vj (А = 1. 2. ...).

Значение г, находят другим способом. Погрешность на каждом шаге имеет порядок /г.

Формула со вторыми разностями:

Значения уt и уа находят другим способом. Погрешность на каждом шаге имеет порядок Л3.