Практикум по вычислительной математике (стр. 45 )

Задание. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа

си д2и, .

—=—г (уравнения теплопроводности) при заданных началь-

dt дх2

ных условиях м(х, 0) =/(*), «(О, 0 = ф(0> м(0,6, /) = ф(г), где хе [0; 0,6]. Решение выполнить при h=0,1 для / е [0; 0,01 ] с четырьмя десятичными знаками, считая ст=1/6.

№ 1. м(х, 0) = cos2a\ м(0, f)=l— 6f, м(0,6;/)=0,3624.

№2. м(л, 0)=х(х+1), м(0, f)=0, и(0,6; 0 = 2/+0,96.

№ 3. mix, 0)= 1,2+lg (.г 4-0,4), м(0, /)=0,8 + f, м(0,6; /)= 1,2.

Jfe 4. ulx, oj=sin2x, «(0, t)=2tf и(0,6; /)=0,932.

№ 5. m(.y, 0i=3x(2 —x), м(0, f)=0, u(0,6; /)=f+2,52.

№ 6. Mix, 0)= 1 — lg(x+0,<fy м(0,*)=1,4, t V).6; /) = /+ 1.

№7. м (x, Ol — sin (0,55x+0,03), m(0, f)='+0,03, и (0,6;/)=0,354.

№8. и x,0)=2x(l-x)+0,2, м(0, /)=0,2, м(0,6;/)=/ + 0,68.

№9. m(x, 0)=sinx+0,08, м(0,/)=0,08 + 2/, м(0,6;/)=0,6446.

=cos(2x+0,19), m(0, /)=0,932, и (0,6; /)=0,1798.

= 2x (x+0,2) + 0,4, и (0, /)=2/ + 0,4, « (0,6; /) =1.36.

= lg(x+0,26) + 1, м(0. /)=0,415 + /, м(0,6;/)=0,9345. = sin(x+0,45), m(0, /)=0,435-2/, «(0,6; 0=0,8674. =0,3+x(x+0,4), w(0, /)=0,3, м(0.6; /)=6/+0,9.

=(x — 0,2)(x + 1) + 0,2; m(0, /)=6/; м(0.6; /)=0,84. =x(0,3 + 2x). и(0, /)=0, и(0,6; /) = 6/+0,9.

=sin fx+0,48). м(0, /)=0,4618, «(0,6; /)=3/+0,882.

= sin(x+0,02). м(0,/) = 3/ + 0,02, «(0,6;/)=0,581.

=cos (x+0,48), «(0. /)=6/+0.887, м(0,6; /)=0,4713.

= lg(2,63—x). «(0. /)=3(0.14—/), «(0,6; /)=0,3075.

= 1,5—x(l—x), «(0, /)=3(0,5 — /), «(0,6;/)= 1,26.

=cos(x+0,845), м(0,/)=6(/+0,11), м(0,6; /)=0,1205. = lg(2,42+x). и(0,/)=0,3838. м(0.6;/)=6(0,08-/).

= 0,6+x(0,8—x), м(0, /)=0,6, m(o,6; /)=3(0,24+/).

=cos (x+0*66), «(0. /)=3/+0,79, «(0,6; /)=0,3058. :lg(1.43 + 2x), «(0, /)=0.1553, u(0,6; /)=3(/+0,14).

;0,9+2x(l —x). m(0, /)=3(0,3—2/). м(0,6;/)= 1,38. lg(l,95 + x), «(0, /)=0,29 —6/, «(0,6; /)=0,4065.

2cos(x+0,55), м(0,/)= 1.705, «(0,6;/)=0,817 + !

: x (1 — x) + 0,2, «(0, /)=0,2, м (0.6; /)=2 (/+0,22).

Образец выполнения задания и (х, 0)=Зх (1 — х) + 0,12, м (0, /)=2 (/+0,06), м (0,6; /)=0,84.

Параболическое уравнение решается методом сеток постепенным переходом от значений функции u{xit /,) к значениям и (.v,-, 0+1 ); причем t]'+l = tj+k, где &=Л2/6=0,01/6=0,0017. Вычисления производятся по формуле

Mi. у + i= 7(Mf + i.;+4«,у + Mj-1,у) (/=1, 2, 3, 4, 5, 6; j= 1, 2, 3, 4, 5, 6).

6

Все расчеты приведены в таблице;

j	t	0	1	*> ■вт	3	4	5	6
		0	0.1	0.2	0,3	0.4	0.5	0,6
0	0	0,12	0,39	0,60	0,75	0,84	0,87	0,84
1	0,0017	0,1233	0,3800	0,5900	0,7400	0,8300	0,8600	0.84
2	0,0033	0,1267	0,6372	0.5800	0,7300	0,8200	0,8517	0,84
3	0,0050	0,1300	0,3659	0,5704	0,7200	0,8103	0,8445	0,84
4	0,0067	0,1333	0,3607	0.5612	0,7101	0.8010	0,8380	0,84
5	0,0083	0,1367	0,3562	0.5526	0,7004	0,7920	0,8322	0,84
6	0,01	0,1400	0,3524	0,5445	0,6910	0,7834	0,8268	0,84

Работа 4

Используя метод сеток, составить решение смешанной зада*

дги

для уравнения колебания струны —-=—- с начальны*

дх2

условиями и(д-, 0) =/(*), ut(.v, 0)=Ф (.v) (O^.v^l) и краевы? условиями м(0,/)=ф(/), w(l,/) = \|/(/). Решение выполш с шагом h = 0,1, определяя значения функции и (а*, /) с четыр! мя десятичными знаками, причем 0^/<0,5.

ф|	и	= COSA,	ф(
ф!	/)	= 0,	ф(
	[/)	= 2(/+1).

№ 1./(л)=л(л+1),

. , ТТЛ JVs 3. J(x)=cos—.

}л)=л2,	ф|	[л]
/)=1+2л	ф!	п
(0=о.	*1	[/)

JVa 5. /(л) = 2л(л + I) +0.3. Ф (л)=2 sin л,

фМ=0.3, ф(/)=4,3 + /.

№ 7. /(л)=л sin тгл, Ф(л)=(л+ I)2.

Ф 0 = 2/,

Ш=ь

№ 9. /(л)=л (2л-0,5),

Ф (л)=cos 2л, ф(/) = /\ ф(/)= 1.5.

ял

№ II./(л)=(1 —.t)cos—,

JVfe 6. /(л)=(л+0,2)sin —, Ф (л) = 1 + л2, ф(0=0, ф(0=1,2(/+1).

№ 8. f(x)=Зл(I —л),

Ф Ы=cos (л+0,5),

ф(/)=2л

ф(г)=0.

№ 10. /(л)=(л +1) sin тгл, ФЫ=л2 + л. ф(п=0, ф(/) = 0,5/.

№ 12. /(л)=0,5л (л+1),

)=л cos л.

JVs 13. /(л)=0,5 (л + 1),

Ф |л)=л* sin 2л, ф(/) =0.5 + 3/, *(/)=!.

№ 15. /(л) = X 2 COS 7LY,

Ф[л)=л2(л+ I), ф(/)=0,5/, ф(/)=/-1.

JVs 17./(л)=(л+0,5)\

ФЫ=(л+1) sin ач ф(/)=0,5(0,5 + /), \|/(/)=2,25.

№ 14. /(л)=(л + 1) sin—,

ф(л')= 1 — л2, ф(/)=0,5/,

W)=2.

№ 16. /(л) = (1 - X 2 ) COS JLY, Ф (л)=2л+0,6,

Ф и) = 1 + 0,4/,

щп=о.

№ 18. /(л) = 1,2л—л 2,

Ф Ы=(л+0,6) sin х.

фМ=0, ф{/)=0,2+0,5/.

=(.v+0,5) (.* +1), =cos(x+0,3), =0,5, = 3—2л (л:+0,4) sin 7LV, Ф+01. 0,5/, 0.

=0,5(.v+ I)2. = (л+0.5) cos ЯЛ'. = 0.5, = 2-3/. = (2 — .v)sin nx, =(.v+0.6)2, = 0,5/. = 0.

= t\ =(l —x2) +.v, =2sin(.v+0,4), = 1, =(/+l)2. = (.V 2 + 0,5) COS 7LV, Ф(.*И*+0,7)2,

№ 24./(л)=(л+0.4) cos—. =0,3 (лг+ I), =0,4, = 1.2/. = 0,4(.v+0,5)2, =л sin (л*+0,6), = 0,1 + 0.5/, =0,9. = (.v + 2) (0,5.v + 1), Ф(.*) = 2со5{ .v + - J,

ф(/)=0,5.	ф(/) = 2.
ф(/)=2/-1,5.	Щ1)=4.5-3/.
	ЯЛ'
№ 29. /(.*)=(дг2+1)(1 —д;).	№ 30. /(л)=(.v + 0,2) sin—.
Ф(лЬ 1 — sin л'.	Ф[л-)=1+л-2.
	ф(/)=0.6/.
ф(/)=0,5/.	ф(/)=1.2.
Образец	выполнения задания
/(x) = 2.v(l-.v2), Ф(л)=	:(.v+0,4)cos(.v+0.3), ф(/)=0,5/\ \|/(/)=0.

Для решения воспользуемся соотношением

Mi. j +1 = Hi +1. j + Mi -1. j ~ wi. j -1 ’ где i=I, 2, j-1. 2, 3, ....

При этом ui0=f, а для определения нп можно использовать один из возможных приемов, например,

1

Ui 1 -’“(/.4 1 +/i - i) +ЛФ,

причем

лг,-=0-h/Л (/=0, 1, 2 и),. //=-—10,

h

tj=0+jh 0=0, 1,2, 3,4, 5).

Кроме того, и0,.=ф(^-); unj = ty(tj).

Решения по указанным формулам удобно выполнять в таблице, которая и является решением данной задачи.

Порядок заполнения таблицы:

1.  Вычисляем значения ы|0 =/(*,-)=2*,(1 - х(') при х,=0,1/ и записы­ваем их в первую строку (она соответствует значению го=0).

2.  Вычисляем значения м0;=Ф (0 )=0>5/уг при /у=0,1 и записываем их в первый столбец таблицы (он соответствует значению л'о=0).

*1 и	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0.5	0,6	0,7	0,8	0,9	1.0 '
0	0	0,198	0,384	0,546	0.672	0,750	0,768	0,714	0,576	0,342	0
0,1	0,005	0,2381	0,4247	0,5858	0.7092	0,7677	0,7942	0,7315	0,5825	0,3354	0
0,2	0,02	0,2317	0,4399	0,5879	0.6815	0,7534	0,7312	0,6627	0,4909	0,2405	0
0,3	0,045	0,2218	0,3949	0,5356	0.6321	0,6450	0,6219	0,4906	0,3207	0,1555	0
0,4	0,08	0,2082	0,3175	0,4391	0.4991	0,5006	0,4044	0,2799	0,1552	0,0802	0
0.5	0,125	0,1757	0,2524	0,2810	0.3076	0,2585	0,1586	0,6090	0,0394	-0,0003	0

3.  Заносим значения м1оу~'1'(0)*=0 в П0СЛСДНИЙ столбец таблицы (он соответствует значению jcio = b0)-