Практикум по вычислительной математике (стр. 44 )

1	0	5	10	15	20	25
0,8	7.2	8,63	11.77	15,80	20,30	25
0.6	10.8	10.56	12,64	16.14	20,40	25
0,4	10.8	10.17	12.10	15.69	20.18	25
0,2	7,2	7,20	9,88	14,34	19,64	25
0	0	1.54	5.88	12.14	19.02	25
/ Xi	0	0.2	0,4	0.6	0,8	1

Работа 2

Задание. Используя метод сеток, составить решение диффере

_ си си. нциального уравнения Лапласа —Н - = 0 с заданными

дх rlv“

начальными условиями; шаг h= 1. Уточнение решения производить до сотых долей с помощью процесса Либмана.

«(*’ »')1г = 1*1 + \УI - м(.*, л)1г=2 1л | + \у\. у)1г=1*Иг|. M(.v, j)|r=|.r|+2|j|. m(.v, у)|г=|л-| -1>-|- w (л% у) | г = I - v | + |>’|. "(*>у)1г = 1*|-Ы. >')1г = 2|*| + \y\. «(-v, y)lr=l-v||y|. >’)lr = l*l + \yl

л*2 v2

№ 1. — + —=1 (Г),

9 16

№ 2. (| - V | + 2) - (1>*| +2)= 12 (Г), № 3. |>’|=4—.Y21

хе[-2, 2] J JVs 4. .*2+>’2=16 (Г),

.V2 у2

л-,5.- + -=.(П.

ЛЬ 6. |.v|=4—j2)

,е[-4.4]|(П’

№ 7. (|.»|+2)(Ы+2) = 12(Г),

.V2 у2 № 8. — + — =1 (Г),

9 16

л:2 у2 №9.- + -=1 (Г),

16 25

№ 10. |_у|=4—л2!

Г 9 7ТГ(Г)’

*е[—2, 2JJ

н(*. у)!г и(л\у)| «(.V, у)| и(л\ у)\ и(дг. у)| «(*. >)\ и(*. у) I w(.v, у)| «(*. У)\ м(л\ >’)| «(*.>•)! «(*. у)\ «(*. }')\ н(л\ у)\ h(-V. у)\ и(х г)| n(.v. у)\ ы(л. у)| и{х, у) I ы(л*,у)|

J4* 11. л*2+>' = 16 (Г).

X2 у2 № 12. — + —=1 (Г).

16 9

№ 13. |л:|=4-г2!

~[-4,4]}(Г)- № 14. (|лс| + 2)(|у| +2)= 12 (Г), ,Ys 15. .v2/25 +r2/9 = 1 (Г),

.Nfe 16. дг2/9+>-2/16=1 (Г),

№ 17. |у|=9-л21

-vef-3. 3]} (П'

JV* 18. дг+у2= 16 (Г),

№ 19. дг/16+>,2/9 = 1 (Г),

№ 20. |х|=9—уМ

ле[—9. 9] J JV* 21. x2!9+y2f25= 1 (Г),

'№ 22. л-2/25+у2/16=1 (Г),

№ 23. (|л:| +3)*(|>’| +2)= 18 (Г), № 24. |у|=9—л*2)

Г г И <Г)’

.V6 [ 3. 3] J

№ 25. х2+у2 = 16 (Г),

№ 26. л*2/16+у2/25= 1 (Г).

№ 27.

1.  |„v|=4—г2] *е[—4. 4] j ’

№28. (|л|+2) (|у|+3)=18(Г), № 29. л*2/9+у2/25 = 1 (Г), № 30. (U| + 5)(|у\ +5)=45 (Г),

= | .v | + 0,5J у |.

=i-vi + y.

= 2|*|+0,5|y|. = 1*1 +1 v|. =2|.v|+0,5|v|.

=l-v| - h i|>4- •»

Ц|л|+2|у|.

= 0,51 л* | + I >' |.

=0.51 л: | + | у |.

=0,51 л: | + 2|v |. =0.51 - V | -1 |.

= |.v| +0,51 у |.

= 2|.y| +0,51 >*|-

=0.5(|.v| + \y\).

= i|.v| + I r|.

= |.v| +0.5|y|.

= 21 - v I +0.5 |y|. = I - v | +0,5|y|.

= |.v| + 0,5 |y|.

Образец выполнения задания

2 ,2

77 +“■=! (О; «(лс, v)Iг=0.5(|л:| + \y\). lo у

1.  Исп >1ьзуя симметрию заданных начальных условий, построим решение только в I четверти (рис. 14). Возьмем шаг А=1 и составим таблицу значении х и у:

Л*	0	1	2	3	4
У	3	2,90	2,60	1,98	0

/ 2 J U x

Рис. 14

На рисунке крестиками помечены граничные узлы, а кружочками—’ внутренние.

Вычислим значения функции и(х, у) на границе:

А (0; 3); «(Л) = 0,5(0 + 3)= 1,5, 5(1; 2,90); «(В)=0,5(1 +2,9)= 1,95, С (2; 2,60); «(С) = 0,5 (2+ 2,6) = 2,3, 1 D{3; 1,98); «(/>)=0,5(3+1,98) = 2,49, £(3,77; 1); «(£) =0,5(3,77 +1)=2,39, F(4;0); «(F) =0,5 (4+0)=2.

Для определения начальных значений функций м (х, у) во внутренних гонках составим систему уравнений, содержащих эти значения. Каждое уравнение получается приравниванием значения функции во внутренней точке среднему арифметическому четырех значений функции в соседних точках:

ы,=^(1,5 + «4 + 2«2), «2=^(1,95 + м1+н3 + м5), «з=^(4,79+«2+м6),

w4=^(«,+«8 + 2m5), us=^(u2 + u4 + ub + u9), M6 = ^(«3 + W5 + «7 + Wlo)>

«7 = ^(4,88 + м6 + ми), ы8=^(4ы5), U9 = ^(US + U10 + 2U5), Mio=t(«9 + Mii+2«6). M11=i(4,78 + 2«6).

4  4

Решая эту систему, получим —1,91, м2 = 2,05, м3=2,10, и4 = 2,05, «5 = 2, «6 = 2,18, м7 = 2,34, «8 = 2,11, «9 = 2,13, «10 = 2,19, «п=2,28.

Найденные значения функции и (л\ у) позволяют составить шаблон № 1, в котором внутренние значения соответствуют найденным, а гранич­ные получаются в результате уточнения предыдущих граничных значений по формуле линейной интерполяции

«(Ла)=«(/1)+5- ——,

где Ah—узловая граничная точка; А — ближайшая к Ак точка, лежащая на границе; Вл—ближайшая к Ак узловая точка, лежащая внутри области; б — расстояние между точками А и Ah> взятое со знаком плюс, если точка Ah лежит внутри области, и со знаком минус, если она лежит вне области. В данном примере имеем:

и(Л)=«М=1,5; 8в=2,90-3= -0,1; ЦД,,)= 1,05-0,1 2-05 ~—= 1,94;

6С=2,60—3 = 3—0,4; и (С»)=2,3 - 0.4 iirH=2,43;

0.6

•j U — ') 4Q

5В = 1,98 - 2 = 0.02; «(D„)=2,49 - 0,02 2,49;

6Е=3,77-4=-0,23; и (£h) = 2,39-0,23HlzH? = 2,40; u(h\)=u{F) = 2.

0,77

№ 1.

1.5	1,94	2,43
1,91	2,05	2,10	2,49
‘ 2.05	2. И	2,18	2,34	2,40
2,11	2,13	2,19	2,28	2

2.  Процесс Либмана заключается в уточнении значений, входящих в шаблон № I. Каждый следующий шаблон Получается из предыдущего гак: значения функции во внутренних точках равны среднему ариф­метическому четырех соседних значений предыдущего шаблона, а значе­ния функции в граничных точках находятся по формуле линейной интерполяции, уже использованной при получении шаблона № I. Это уточнение производится до тех пор, пока два последовательных шаблона не совпадут с заданной степенью точности. $ результате вычислений получим следующую последовательность шаблонов:

№ 2. Аё 3.

1,5	1,94	2,31
1,91	2,02	2,29	2,49
2,06	2,10	2,18	2.34	2,40
2,09	2,13	2,19	2,22	2

1,5	1,94	2,33
1.90	3,06	2,25	2.49
2,05	2J0	2,23	2,32	2,41
2,10	2,12	2,18	1 ТУ	2

1,5	1,94	2,31
1,92	2,05	2,28	2,49
2,05	2,12	2,21	2,34	2,40
2,09	2,12	2,20	2,20	2

№ б.

1,5	1,94	2,31
1,92	2,06	2,28	2,49
2,062	2,12	2,22	2,34	2,40
2,10	2^13	2,20	2,21	i л*

№ 8.

1,5	1,94	2,32
1,92	2,06	2,27	2,49
2,06	2,12	2,23	2,33	2,41
2,10	2,13	2,20	9 11	2

Шаблон № 8 является ответом.

№ 5.
1,5	1,94	2,33
1,91	2,06	2,26	2,49
2,06	2,11	2,23	2,33	2,41
2,09	2,14	2,19	2,22	2
№ 7.
1,5	1,94	2,32
1,92	2,06	2,27	2,49
2,06	2,12	2,23	2,33	2,41
2,10	2,20	2,22	2,22	2

Работа 3