Практикум по вычислительной математике (стр. 24 )

Для определения двух других собственных чисел решим квадрат! уравнение, полученное при делении многочлена /(X) на X - 3.7621:

Х- — 1.2379Л. - 23,6571=0; Л,., = 0,61895 + 70,3831+23,6571 = 0.618951 + ч/24,0402 =0,61895 + 4.90302; >.,=4,2841; Х3 = 5,5220.

2.  Для определения собственных векторов, соответствующих найде ным числам, воспользуемся системами линейных уравнений, получении из равенства (>€—Х£’)Лг=0.

При X, — —4,2841 получим систему

6,2841 л*,- -*2 + 3*3 = 0,

—  2.v 1 + 8,2841 л'2 + 5.V3 = 0,

ЗЛГ! +2X2 + 3,2841лг3 = 0.

Эта система линейных однородных уравнений является неопределенно] так как ее главный определитель равен нулю. •

Решение можно найги, используя любые два уравнения сисгег например второе и третье:

8.2841 5		5 -2		-2 8,2841
2 3,2841		3,2841 3		3 2

Л'2

Л'З

Л1

л 7

С.

17,2058 21,5622 -28,8523

Для того чтобы норма j| Х} || вектора была равна единице, разде.1 все его координаты на наибольшую из них по абсолютной величш тогда получим Ху = С(—0,597; -0,746; 1).

Аналогично определяются два других собственных вектора.

При Х2 = 3,7621 имеем:

— l,7621xi —л*2 +Зх3=0,

—  2х 1 + 0,2379л'2 + 5л'з = 0, Зл'!+ 2х2 -4,7621хз = 0;

0.2379 4		5 2		-2 0.2379
2 -4.7621		-4,7621 3		3 2

■Vl

Лз

.Vi

= С; Х2 = С (I: -0.492; 0,423).

-11,13229 5.4758 -4.7137 При Х3 = 5,5220 имеем:

—  3.522л j — л 2 + Зл'з = 0,

—  2.V, — I,522л’2 + 5л*з = О, Зл*1 + 2л*2 — 6,522л'3=0:

-Vi		Хг		•v3
-1,522 5		5 -2		-2 -1.522
2 -6,522		-6,522 3		3 2

л'|

х

X}

С:

= С; Л'з = С’(-0,00858; 0,228; I).

—  0,0735 1,956 8,566

О т в с г: К -V,| -*.д -4,284 -0.597 -0.746 1 3,762 1 -0.492 0.423 5,522 -0.00858 0.228 1

Работа 2

Задание. Используя метод Крылова, найти собственные числа и соб­ственные векторы матрицы. Собственные числа определить с четырьмя верными цифрами, а собственные векторы — с тремя десятичными знаками.

1	1,5	2,5	3,5\
1,5	1	2	1,61
2,5	2	1	1,7 Г
3.5	1.6	1.7	1 /
1	1.2	2	0,5\
1.2	1	0.5	1 \
2	г о	2	1.5 [
0.5	1	1.5	0.5/
2	1	1.4	0.5\
1	1	0.5	1 U
1,4	0,5	2	1.2 1*
0,5	1	1,2	0.5/
2	1.5	3,5	4,5\
1,5	2	2	1.61
3,5	2	2	1,7 *
4.5	1,6	1,7	2 /

•V" 1. А—\

•Vs 3. А=\

Ла 5. Л = |

-V« 7. /1 = 1

№ 2. А = \

2,5	1 -	0,5 2 \
1	2	1,2 0,4 \
0.5	1.2 -	1 1.51	•
2	0.4	1,5 1 /
2	1.2	-1	1 \
1.2	0.5	о _	I |
1	? А*	-1,5	0.2 Г
1	-1	0,2	1,5/
1	0.5	1,2 -	1 \
0.5	2	-0,5	0 1
1.2	-0.5	-1	,’4Г
1	0	1,4	1 /

JVs 4. А = \

№ 6. А=\

1 О -1,5 2
JVs 22. А = \
№ 24. А=\
№ 26. А=1
№ 28. А =
№ зо. А =

Образец выполнения задания

' 2.2 1 0,5 2

1 1,3 2 1

0,5 2 0,5 1,6

? 1 1,6 2

Г | Для определения коэффициентов характеристического уравнения

Хл—р1\л—р2\2—р3Х—рл=0

утроим последовательность векторов:

произвольный вектор; Вх = АВ0: В2 = АВу; Bi = AB2\ В4 = АВУ

p. in иск горы В0, В1, В2. Bi окажутся линейно независимыми, то ^фф. шненты Р\. р2, pi, рл определяю гея из решения системы линейных уравнений. соответствующей равенству

#4 = Р \В$ +р2В2 +р$Вх -\-р*В$.

Cue | ему линейных уравнений будем решать с помощью схемы Халенкого. Все вычисления располагаем в таблице.

Т а б л и ц а I А Яо Я. Дг /?4 X 2.2 1 0.5 2 1 2.2 10.09 52.373 291,0006 356.6636 1 1.3 2 1 0 1 6.5 41,84 239.605 288.945 0.5 2 0.5 1.6 0 0,5 6.55 37.64 220.7825 265.4725 2 1 1.6 2 0 2 10.20 57.56 321,930 391.69 1 1 10.00 52.373 291.0006 356.6636 0 1 1 6.5 41,84 239.605 288,945 0 0,5 3,3 1 5.066667 30.6 36.666667 0 2 -2.8 -11.933333 1 6.00000 7,00000 1 6 7 1 0.2 1,2 1 - 12,735 - 11.735 1 2.7616 3.7616

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид